En median er et linjestykke som går fra et hjørne i en trekant til midtpunktet på motstående side.

En setning i geometrien sier at de tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Denne setningen heter mediansetningen.

En trekant $ABC$ er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. Ved å bruke vektorregning skal vi vise at mediansetningen gjelder for denne trekanten.

$M_1$ er midtpunktet på siden $AB$, og $M_2$ er midtpunktet på siden $AC$.

a)

Skriv opp koordinatene til $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BC}$.

b)

Vis ved regning at koordinatene til punktet $M_1$ er $(2,\, 0)$, og punktet $M_2$ er $\left(\dfrac{1}{2},\, 2\right)$.

Vi kaller skjæringspunktet mellom $CM_1$ og $BM_2$ for $S$. En metode for å finne koordinatene til $S$ består i å skrive $\overrightarrow{CS}$ på to måter. To ulike veier fra $C$ til $S$ gir

$$\overrightarrow{CS} = k \cdot \overrightarrow{CM_1} \quad \text{og} \quad \overrightarrow{CS} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}$$

Dette gir oss følgende vektorligning:

$$k \cdot \overrightarrow{CM_1} = \overrightarrow{CB} + t \cdot \overrightarrow{BM_2}$$

c)

Sett inn koordinatene til $\overrightarrow{CM_1}$, $\overrightarrow{CB}$ og $\overrightarrow{BM_2}$, og vis at vektorligningen kan skrives som

$$\left[k,\; -4k\right] = \left[3 - \frac{7t}{2},\; -4 + 2t\right]$$

d)

Løs vektorligningen i c).

e)

Bestem $\overrightarrow{CS}$ og koordinatene til punktet $S$.

f)

Vis at den tredje medianen går gjennom punktet $S$.