Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En median er et linjestykke som går fra et hjørne i en trekant til midtpunktet på motstående side.

En setning i geometrien sier at de tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Denne setningen heter mediansetningen.

En trekant $A B C$ er plassert i et koordinatsystem som vist på figuren. Ved å bruke vektorregning skal vi vise at mediansetningen gjelder for denne trekanten.

Trekant ABC med medianer og skjæringspunkt S

$M_{1}$ er midtpunktet på siden $A B$ , og $M_{2}$ er midtpunktet på siden $A C$ .

For hånd

Skriv opp koordinatene til $\vec{A B}$ , $\vec{A C}$ og $\vec{B C}$ .

For hånd

Vis ved regning at koordinatene til punktet $M_{1}$ er $(2, 0)$ , og punktet $M_{2}$ er $(\frac{1}{2}, 2)$ .

Vi kaller skjæringspunktet mellom $C M_{1}$ og $B M_{2}$ for $S$ . En metode for å finne koordinatene til $S$ består i å skrive $\vec{C S}$ på to måter. To ulike veier fra $C$ til $S$ gir

\vec{C S} = k \cdot \vec{C M_{1}} og \vec{C S} = \vec{C B} + t \cdot \vec{B M_{2}}

Dette gir oss følgende vektorligning:

k \cdot \vec{C M_{1}} = \vec{C B} + t \cdot \vec{B M_{2}}

For hånd

Sett inn koordinatene til $\vec{C M_{1}}$ , $\vec{C B}$ og $\vec{B M_{2}}$ , og vis at vektorligningen kan skrives som

[k, - 4 k] = [3 - \frac{7 t}{2}, - 4 + 2 t]

For hånd

Løs vektorligningen i c).

For hånd

Bestem $\vec{C S}$ og koordinatene til punktet $S$ .

For hånd

Vis at den tredje medianen går gjennom punktet $S$ .

Fasit

$\vec{A B} = [4, 0]$ , $\vec{A C} = [1, 4]$ , $\vec{B C} = [- 3, 4]$

$M_{1} = (2, 0)$ , $M_{2} = (\frac{1}{2}, 2)$

Vist ved innsetting

$k = \frac{2}{3}, t = \frac{2}{3}$

$\vec{C S} = [\frac{2}{3}, - \frac{8}{3}]$ , $S = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$

Vist at $S$ ligger på medianen fra $A$

LøsningsforslagKI-generert

Trekanten har hjørner $A (0,0)$ , $B (4,0)$ og $C (1,4)$ .

Vektorene mellom hjørnene finner vi ved å trekke koordinatene til utgangspunktet fra koordinatene til endepunktet.

\vec{A B} = B - A = [4 - 0, 0 - 0] = [4, 0]

\vec{A C} = C - A = [1 - 0, 4 - 0] = [1, 4]

\vec{B C} = C - B = [1 - 4, 4 - 0] = [- 3, 4]

Midtpunktet av et linjestykke finner vi ved å ta gjennomsnittet av koordinatene til endepunktene.

M_{1} = (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}, \frac{y_{A} + y_{B}}{2}) = (\frac{0 + 4}{2}, \frac{0 + 0}{2}) = (2, 0)

M_{2} = (\frac{x_{A} + x_{C}}{2}, \frac{y_{A} + y_{C}}{2}) = (\frac{0 + 1}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = (\frac{1}{2}, 2)

Vi finner koordinatene til de tre vektorene som inngår i likningen.

\vec{C M_{1}} = M_{1} - C = [2 - 1, 0 - 4] = [1, - 4]

\vec{C B} = B - C = [4 - 1, 0 - 4] = [3, - 4]

\vec{B M_{2}} = M_{2} - B = [\frac{1}{2} - 4, 2 - 0] = [- \frac{7}{2}, 2]

Setter vi dette inn i vektorlikningen $k \cdot \vec{C M_{1}} = \vec{C B} + t \cdot \vec{B M_{2}}$ , får vi

k \cdot [1, - 4] = [3, - 4] + t \cdot [- \frac{7}{2}, 2]

[k, - 4 k] = [3 - \frac{7 t}{2}, - 4 + 2 t]

som er det vi skulle vise.

To vektorer er like når begge koordinatene er like. Det gir likningssystemet

k = 3 - \frac{7 t}{2} og - 4 k = - 4 + 2 t

Løst med GeoGebra CAS:

Løsning av vektorlikningen og kontroll av mediansetningen

Dette gir

k = \frac{2}{3}, t = \frac{2}{3}

Vi setter $k = \frac{2}{3}$ inn i $\vec{C S} = k \cdot \vec{C M_{1}}$ :

\vec{C S} = \frac{2}{3} \cdot [1, - 4] = [\frac{2}{3}, - \frac{8}{3}]

Koordinatene til $S$ finner vi ved $S = C + \vec{C S}$ (se linje 2 i utklippet):

S = (1, 4) + [\frac{2}{3}, - \frac{8}{3}] = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3})

S = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3})

Den tredje medianen går fra $A$ til midtpunktet $M_{3}$ på siden $B C$ :

M_{3} = (\frac{x_{B} + x_{C}}{2}, \frac{y_{B} + y_{C}}{2}) = (\frac{4 + 1}{2}, \frac{0 + 4}{2}) = (\frac{5}{2}, 2)

Et punkt ligger på linjen $A M_{3}$ dersom $\vec{A S}$ er parallell med $\vec{A M_{3}}$ , det vil si at $S = s \cdot M_{3}$ for en konstant $s$ (siden $A$ er origo). Vi sjekker om $S = \frac{2}{3} \cdot M_{3}$ (linje 3 i utklippet):

\frac{2}{3} \cdot (\frac{5}{2}, 2) = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3}) = S

GeoGebra bekrefter at dette stemmer (sjekk = true). Siden $S$ ligger på linjen fra $A$ gjennom $M_{3}$ med $\vec{A S} = \frac{2}{3} \vec{A M_{3}}$ , går altså den tredje medianen $A M_{3}$ også gjennom $S$ . Alle tre medianene skjærer dermed hverandre i samme punkt $S = (\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ , og mediansetningen er vist for denne trekanten.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2007, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Vektorer, Geometri, Bevis

Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Mediansetning i trekant ABC med vektorregning

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer