Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Månefaser

Tabellen nedenfor viser hvor stor del av månen som var synlig ved midnatt på noen utvalgte døgn på et bestemt sted i et bestemt år.

Døgn nr. ( $x$ )	1	2	3	4	5	6	10	15	20	21
Synlig del	0,25	0,18	0,11	0,06	0,02	0,00	0,11	0,57	0,99	1,00

Døgn nr. ( $x$ )	25	30	35	40	45	50	55	60	65	66
Synlig del	0,80	0,32	0,02	0,14	0,64	1,00	0,77	0,31	0,01	0,00

Kalkulator

Lag en sinus-funksjon $f$ som gir en god modell for dataene ovenfor.

Bestem perioden, amplituden og likevektslinjen.

Kalkulator

Bruk graftegner til å bestemme i hvilke døgn det er halvmåne i denne perioden.

Fasit

$f (x) = 0,5 + 0,5 \sin (\frac{π}{15} (x - 13,5))$ , med periode $T = 30 døgn$ , amplitude $a = 0,5$ og likevektslinje $y = 0,5$

$x \approx 13,5, 28,5, 43,5 og 58,5 døgn$

LøsningsforslagKI-generert

En sinusmodell for den synlige delen av månen har formen

f (x) = d + a \sin (b (x - c))

der $d$ er likevektslinja, $a$ er amplituden, $b = \frac{2 π}{T}$ og $c$ er en horisontal forskyvning.

Amplitude og likevektslinje. Den synlige delen varierer mellom $0,00$ (nymåne) og $1,00$ (fullmåne). Det gir

a = \frac{1,00 - 0,00}{2} = 0,5 d = \frac{1,00 + 0,00}{2} = 0,5

Periode. Av tabellen ser vi at det er nymåne (verdi $0,00$ ) både ved $x = 6$ og ved $x = 66$ , og fullmåne (verdi ca. $1,00$ ) ved $x = 21$ og $x = 51$ . Fra $x = 6$ til $x = 66$ går det med to hele perioder, så

T = \frac{66 - 6}{2} = 30 døgn \Rightarrow b = \frac{2 π}{T} = \frac{2 π}{30} = \frac{π}{15}

Forskyvning. Med minimum ved $x = 6$ ligger sinuskurven på likevektslinja og stiger en kvart periode senere, altså ved $x = 6 + \frac{30}{4} = 13,5$ . Dette gir $c = 13,5$ .

Modellen blir dermed

f (x) = 0,5 + 0,5 \sin (\frac{π}{15} (x - 13,5))

Setter vi inn tabellverdiene, stemmer modellen godt overens med de oppgitte dataene (for eksempel $f (1) = 0,25$ , $f (21) = 1,00$ og $f (66) = 0,00$ , som alle er nøyaktig lik de målte verdiene).

Halvmåne betyr at halve månen er synlig, altså $f (x) = 0,5$ . Vi bruker graftegner til å tegne $f$ sammen med linja $y = 0,5$ og finner skjæringspunktene i perioden $⟨ 1, 66 ⟩$ .

Graf av f(x) med linja y=0,5 og skjæringspunktene

Graftegneren gir skjæringspunkter ved

x = 13,5, x = 28,5, x = 43,5, x = 58,5

Det er altså halvmåne midt mellom døgn $13$ og $14$ , mellom $28$ og $29$ , mellom $43$ og $44$ , og mellom $58$ og $59$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R2 E2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Modellering, Trigonometri, Graf

Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Månefaser sinusmodell og halvmåne med graftegner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer