Luktintensitet og logaritmisk modell

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$ . Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ( $\mathrm{OU/m^3}$ ).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

I = 1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ( $I$ )	Vurdering
$< 1$	uproblematisk
$1$ – $2$	akseptabelt
$2$ – $3$	kan aksepteres kortvarig
$3$ – $4$	plagsom lukt, bør begrenses
$> 4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500 \mathrm{~OU/m^3}$ og $1400 \mathrm{~OU/m^3}$ .

Har beboerne grunnlag for å klage?

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Hvilken luktverdi må nye prøver vise for at luktintensiteten skal bli akseptabel?

Fasit

Ja, $I \in (3{,}48,\; 4{,}10)$ – godt over akseptabelt nivå

$C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}$

Løsningsforslag

Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene $C = 500$ og $C = 1400$ :

\begin{aligned} I(500) &= 1{,}4 \cdot \lg(500) - 0{,}3 \approx 1{,}4 \cdot 2{,}699 - 0{,}3 \approx 3{,}48 \\ I(1400) &= 1{,}4 \cdot \lg(1400) - 0{,}3 \approx 1{,}4 \cdot 3{,}146 - 0{,}3 \approx 4{,}10 \end{aligned}

Luktintensiteten ligger mellom ca. $3{,}5$ og $4{,}1$ , noe som ifølge tabellen tilsvarer kategoriene «plagsom lukt, bør begrenses» og «plagsomt, tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage. $\underline{\underline{I \in (3{,}48,\; 4{,}10)}}$ , som er langt over akseptabelt nivå.

For akseptabel luktintensitet kreves $I \le 2$ :

1{,}4 \cdot \lg(C) - 0{,}3 \le 2 \implies 1{,}4 \cdot \lg(C) \le 2{,}3 \implies \lg(C) \le \frac{2{,}3}{1{,}4} = \frac{23}{14}

C \le 10^{23/14} \approx 44 \, \mathrm{OU/m^3}

Nye prøver må vise $\underline{\underline{C \le 44 \, \mathrm{OU/m^3}}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

(Til sammenligning viser nåværende prøver 500–1400 $\mathrm{OU/m^3}$ , så en reduksjon på over 90 % er nødvendig.)

Sensorveiledning

1 poeng for å regne ut verdiene og 1 poeng for å vurdere om de har grunnlag for å klage.

1 poeng for finne verdien og 1 poeng for å tolke svaret. Bruk av glider for å finne svaret kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: logaritmer, modellering
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger