Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12

Løs ulikheten $f (x) < 0$ og illustrer løsningen grafisk ved å lage en skisse.

Fasit

$x \in ⟨ - \infty, - 6 ⟩ \cup ⟨ - 2, 1 ⟩$

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal løse $f (x) < 0$ der $f (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ .

Første steg er å finne nullpunktene til $f$ .

Gjett et heltallsnullpunkt. Nullpunktene må være delere av konstantleddet $- 12$ , altså blant $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ . Vi prøver $x = 1$ :

f (1) = 1 + 7 + 4 - 12 = 0 ✓

Så $(x - 1)$ er en faktor.

Polynomdivisjon:

\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12}{x - 1} = x^{2} + 8 x + 12

Vi kontrollerer: $(x - 1) (x^{2} + 8 x + 12) = x^{3} + 8 x^{2} + 12 x - x^{2} - 8 x - 12 = x^{3} + 7 x^{2} + 4 x - 12$ ✓

Faktoriser andregradsuttrykket $x^{2} + 8 x + 12$ :

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{- 8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{- 8 \pm 4}{2}

Dette gir $x = - 2$ og $x = - 6$ .

Dermed kan vi skrive:

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x + 6)

Nullpunktene er $x = - 6$ , $x = - 2$ og $x = 1$ .

Fortegnsanalyse. Siden ledende koeffisient er positiv ( $+ 1$ foran $x^{3}$ ), er $f (x) \to - \infty$ for $x \to - \infty$ og $f (x) \to + \infty$ for $x \to + \infty$ . Fortegnet skifter ved hvert nullpunkt:

Fortegnslinje for f(x)

Grafisk illustrasjon:

Skisse av f(x) med nullpunkter og fortegnsmerking

Kurven starter nedenfra (negativ), krysser $x$ -aksen i $x = - 6$ , går opp (positiv), krysser i $x = - 2$ , går ned (negativ), og krysser til slutt i $x = 1$ og fortsetter oppover. De røde skyggede områdene viser der $f (x) < 0$ .

Løsningen er der $f (x) < 0$ :

x \in ⟨ - \infty, - 6 ⟩ \cup ⟨ - 2, 1 ⟩

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Poengene fordeles i utgangspunktet slik: Én riktig faktor/ett riktig nullpunkt gir 1 poeng. To andre riktige faktorer/nullpunkt gir 1 poeng. Riktige intervaller gir 1 poeng. En skisse der nullpunktene er markert gir 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2024, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Likninger, Polynomdivisjon, Faktorisering, Funksjonsdrøfting
Kompetansemål: Forklare polynomdivisjon og bruke det til å omskrive algebraiske uttrykk, drøfte funksjonar og løyse likningar og ulikskapar
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Løs tredjegradsulikhet og illustrer grafisk

Lov på eksamen

Temaer