Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

S (t) = \frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}}

Kalkulator

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?

Kalkulator

Bestem $S^{'} (52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Kalkulator

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

$t \approx 102,87 uker$

$S^{'} (52) \approx 4873$ husstander per uke. Omtrent ett år etter lansering øker antallet husstander med batteriet med ca. 4873 per uke.

$F (t) = \frac{1 500 000}{1 + 2999 \cdot e^{- 0,1334 t}}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS (numerisk modus) til å løse alle tre deloppgavene i én sesjon.

GeoGebra CAS – logistisk vekstmodell batteriteknologi

Halvparten av husstandene i byen er $\frac{3 000 000}{2} = 1 500 000$ . Vi skal finne $t$ slik at $S (t) = 1 500 000$ .

Vi definerer $S$ og løser likningen i CAS:

S (t) : = \frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}}

𝙻ø𝚜 (S (t) = 1 500 000, t) \Rightarrow t \approx 102,87

Vi kan også løse for hånd for å bekrefte:

\frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t}} = 1 500 000

1 + 2500 \cdot e^{- 0,08 t} = \frac{5}{3}

e^{- 0,08 t} = \frac{2}{3 \cdot 2500} = \frac{1}{3750}

- 0,08 t = \ln (\frac{1}{3750}) = - \ln (3750)

t = \frac{\ln (3750)}{0,08} \approx \frac{8,230}{0,08} \approx 102,87

Det vil ta omtrent $102,87 uker$ før halvparten av husstandene i byen har batteriet.

Vi beregner den deriverte i $t = 52$ i CAS:

S^{'} (52) \approx 4872,76

Til kontroll: $S (52) \approx 62 470$ husstander.

$S^{'} (52) \approx 4873$ husstander per uke.

Praktisk tolkning: Omtrent 52 uker (ett år) etter lansering øker antallet husstander som har batteriet, med ca. 4873 per uke.

Vi skal finne en logistisk modell $F (t) = \frac{B}{1 + A \cdot e^{- r t}}$ basert på tre antakelser:

Bæreevne: $B = 1 500 000$
$F (0) = 500$
Vendepunktet (flest nye husstander per uke) er ved $t = 60$

Bestem $A$ : Vendepunktet for en logistisk funksjon ligger når $F (t) = \frac{B}{2}$ , og ved vendepunktet er $t_{v} = \frac{\ln A}{r}$ . Fra $F (0) = 500$ :

\frac{1 500 000}{1 + A} = 500 \Rightarrow 1 + A = 3000 \Rightarrow A = 2999

Bestem $r$ : Vendepunktet er ved $t = 60$ :

t_{v} = \frac{\ln A}{r} \Rightarrow r = \frac{\ln 2999}{60} \approx \frac{8,006}{60} \approx 0,1334

Vi bekrefter i CAS at $F (0) = 500$ og at vendepunktet er $(60, 750 000)$ .

F (t) = \frac{1 500 000}{1 + 2999 \cdot e^{- 0,1334 t}}

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig strategi, men feil svar kan gi 1 poeng.

1 poeng for å finne verdien og 1 poeng for tolkning av verdien.

Kandidater som systematiserer og finner sammenhenger uten å komme fram til riktig modell kan få 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2025, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Logistisk funksjon, Modellering, Derivasjon
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer