Logaritmeligninger

Løs likningen

(\lg x)^2 - 2\lg x = 8

Bestem $a$ slik at

\log_a \frac{1}{64} = -3

Fasit

$x = 10000$ eller $x = 0{,}01$

$a = 4$

Løsningsforslag

Vi setter $u = \lg x$ og løser den kvadratiske likningen:

u^2 - 2u - 8 = 0 \implies (u-4)(u+2) = 0

Så $u = 4$ eller $u = -2$ , det vil si

\lg x = 4 \implies x = 10^4 = 10000 \qquad \text{eller} \qquad \lg x = -2 \implies x = 10^{-2} = 0{,}01

$\underline{\underline{x = 10000}}$ eller $\underline{\underline{x = 0{,}01}}$

Likningen $\log_a \dfrac{1}{64} = -3$ betyr $a^{-3} = \dfrac{1}{64}$ , altså $a^3 = 64$ .

$\underline{\underline{a = 4}}$

Sensorveiledning

1 poeng for å finne verdiene til $\lg x$ og 1 poeng for å finne verdiene til $x$ . Kandidatene må finne begge løsningene for å få full uttelling.

Kandidaten må begrunne svaret for å få 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: logaritmer, likninger, substitusjon
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for potenser og logaritmer, og bruke ulike strategier for å løse eksponentialligninger og logaritmeligninger