Vi bruker graftegner til å plotte $f(x)=2\ln (x^2+4)-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$ for $x\in ⟨-4,16⟩$:

Vi deriverer $f$ og bruker CAS til å løse $f^{\prime }(x)=0$:

Linje 2 og 3 i CAS-utklippet viser

Vi setter $f^{\prime }(x)$ på fellesbrøk for å avgjøre fortegn:

Telleren er et nedovervendt parabelutrykk med nullpunkt i $x=4\pm 2\sqrt{3}$, så $f^{\prime }(x)<0$ for $x<4-2\sqrt{3}$, $f^{\prime }(x)>0$ for $4-2\sqrt{3}<x<4+2\sqrt{3}$ og $f^{\prime }(x)<0$ for $x>4+2\sqrt{3}$. Dermed er $x=4-2\sqrt{3}$ et bunnpunkt og $x=4+2\sqrt{3}$ et toppunkt.

Linje 4 og 5 i CAS-utklippet viser funksjonsverdiene:

Bunnpunkt $\underline{\underline{(\mathrm{0,54},\mathrm{2,64})}}$ og toppunkt $\underline{\underline{(\mathrm{7,46},\mathrm{4,45})}}$, i samsvar med grafen i a).

Vi deriverer $g(x)=2\ln (x^2+k)-{\displaystyle \frac{1}{2}}x$:

Skal $g$ ha et ekstremalpunkt i $x=1$, må $g^{\prime }(1)=0$. Linje 6–8 i CAS-utklippet viser at CAS løser dette med hensyn på $k$:

$\underline{\underline{k=7}}$

Vi setter $g^{\prime }(x)=0$ generelt:

Linje 9 i CAS-utklippet viser løsningen

Antall (reelle) løsninger avhenger av uttrykket under rottegnet, $16-k$:

• For $0<k<16$ er $16-k>0$, og likningen har to forskjellige løsninger. Akkurat som i b) (der $k=4$) skifter $g^{\prime }(x)$ fortegn i begge punktene, så $g$ får to ekstremalpunkt — ett bunnpunkt og ett toppunkt.
• For $k=16$ blir $16-k=0$, og likningen har kun løsningen $x=4$. Telleren i $g^{\prime }(x)$ blir da $-{(x-4)}^2\le 0$ for alle $x$, så $g^{\prime }(x)$ skifter ikke fortegn i $x=4$. Punktet er et terrassepunkt, ikke et ekstremalpunkt.
• For $k>16$ er $16-k<0$, og likningen har ingen reelle løsninger. Da beholder $g^{\prime }(x)$ samme fortegn (negativt) for alle $x$, og $g$ er strengt avtagende uten ekstremalpunkt.

$\underline{\underline{\text{To ekstremalpunkt for }0<k<16,\text{ingen ekstremalpunkt for }k\ge 16}}$