Vi deriverer $g(x)=x-2\ln (x^2+3)$ ved å bruke kjerneregelen på det andre leddet:

Vi setter på felles brøkstrek:

Dette er det vi skulle vise.

Vi finner mulige topp- og bunnpunkt ved å sette $g^{\prime }(x)=0$. Siden nevneren $x^2+3$ alltid er positiv, holder det å se på når telleren er null:

Vi undersøker fortegnet til $g^{\prime }(x)$ i de tre intervallene (fortegnet følger av telleren $(x-1)(x-3)$, siden nevneren alltid er positiv):

$g$ vokser før $x=1$ og avtar etter, så $x=1$ gir et toppunkt. $g$ avtar før $x=3$ og vokser etter, så $x=3$ gir et bunnpunkt.

Grafen til $g$ har $\underline{\underline{\text{toppunkt for }x=1}}$ og $\underline{\underline{\text{bunnpunkt for }x=3}}$.

Vi finner mulige vendepunkt ved å derivere $g^{\prime }(x)$ på nytt, med kvotientregelen:

Vi forenkler telleren:

Dermed er

Vi setter $g^{\prime \prime }(x)=0$. Siden nevneren alltid er positiv, holder det å se på telleren:

Telleren $x^2-3$ er negativ mellom $-\sqrt{3}$ og $\sqrt{3}$, og positiv utenfor. Fortegnet til $g^{\prime \prime }$ skifter altså i begge punktene, så begge gir vendepunkt.

Grafen til $g$ har $\underline{\underline{\text{vendepunkt for }x=-\sqrt{3}}}$ og $\underline{\underline{x=\sqrt{3}}}$.