Logaritme- og eksponentiallikninger R1 V20

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Løs likningene.

\ln (x^{2}) + \ln x = 12

e^{2 x} - e^{x} = 6

Fasit

$x = e^{4}$

$x = \ln 3$

LøsningsforslagKI-generert

Definisjonsmengden er $x > 0$ , siden $\ln x$ krever positivt argument.

Vi bruker logaritmeregelen $\ln a + \ln b = \ln (a \cdot b)$ til å samle uttrykket til én logaritme:

\ln (x^{2}) + \ln x = 12

\ln (x^{2} \cdot x) = 12

\ln (x^{3}) = 12

Vi tar $e$ -potens på begge sider:

x^{3} = e^{12}

x = \sqrt[3]{e^{12}} = e^{4}

Siden $e^{4} > 0$ , er løsningen gyldig.

Vi setter $u = e^{x}$ , der $u > 0$ . Da er $e^{2 x} = {(e^{x})}^{2} = u^{2}$ , og likningen blir en andregradslikning:

u^{2} - u - 6 = 0

Vi faktoriserer eller bruker abc-formelen:

u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

u = 3 \lor u = - 2

Siden $u = e^{x} > 0$ for alle $x$ , forkaster vi $u = - 2$ . Vi står igjen med

e^{x} = 3

x = \ln 3

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2020, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Logaritmefunksjoner, Eksponentialfunksjon, Likninger

Innstillinger