Jeg ser at vi skal lage en rasjonal funksjon på formen $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Det er en vertikal asymptote og bruddpunkt ved $x=1$, det betyr at uttrykket i nevneren vår må ha nullpunkt i $x=1⟹Q(1)=0$.

Det er en horisontal asymptote ved $y=3$. Det betyr at ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{P(x)}{Q(x)}=3$. For at det skal være mulig må polynomene i teller og nevner ha samme grad. Dette ligner på en rasjonal funksjon med førstegradsuttrykk i teller og nevner der koeffisienten foran $x$ i telleren er 3 ganger så stor som koeffisienten foran $x$ i nevneren.

Jeg lar $Q(x)=x-1$ siden dette er et førstegradsuttrykk som vil gi riktig bruddpunkt.

Vi har nå tre krav til $P(x)$:

• $P(x)$ skal ha samme grad som $Q⟹P$ må være førstegradsuttrykk $ax+b$
• $P(x)$ skal ha 3 ganger så stor koeffisient som $Q(x)⟹P(x)=3x+b$
• $f(x)$ har et nullpunkt i $x=2⟹P$ skal ha nullpunkt i $x=2⟹P(2)=0$

For å oppfylle det siste kravet må $P$ være på formen $P(x)=3x+b$, der $b$ må være slik at $P(2)=0$.

Et funksjonsuttrykk som passer til grafen er

Kommentar: Jeg tolker oppgaveteksten som at vi skal finne én funksjon $f(x)$ som passer til grafen. Generelt vil alle uttrykk på formen $\frac{3cx-6c}{cx-c}$ der $(c\in ℝ)\wedge (x\in ℝ\setminus \left\{1\right\})$ passe til grafen, så det kan godt være at dette generelle uttrykket er et bedre svar på oppgaven.