Jeg ser at vi skal lage en rasjonal funksjon på formen $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Det er en vertikal asymptote og bruddpunkt ved $x=1$, det betyr at uttrykket i nevneren vår må ha nullpunkt i $x=1 \implies Q(1)=0$.

Det er en horisontal asymptote ved $y=3$. Det betyr at $\lim_{ x \to \pm \infty } \frac{P(x)}{Q(x)}=3$. For at det skal være mulig må polynomene i teller og nevner ha samme grad. Dette ligner på en rasjonal funksjon med førstegradsuttrykk i teller og nevner der koeffisienten foran $x$ i telleren er 3 ganger så stor som koeffisienten foran $x$ i nevneren.

Jeg lar $Q(x)=x-1$ siden dette er et førstegradsuttrykk som vil gi riktig bruddpunkt.

Vi har nå tre krav til $P(x)$:

• $P(x)$ skal ha samme grad som $Q\implies P$ må være førstegradsuttrykk $ax+b$
• $P(x)$ skal ha 3 ganger så stor koeffisient som $Q(x)\implies P(x)=3x+b$
• $f(x)$ har et nullpunkt i $x=2\implies P$ skal ha nullpunkt i $x=2\implies P(2)=0$

For å oppfylle det siste kravet må $P$ være på formen $P(x)=3x+b$, der $b$ må være slik at $P(2)=0$.

$$\begin{aligned} P(2)&=0\\ 3\cdot 2+b&=0\\ b&=-6 \end{aligned}$$

Et funksjonsuttrykk som passer til grafen er

$$\underline{\underline{f(x)=\frac{3x-6}{x-1}, \quad D_{f} = \mathbb{R} \setminus \left\{ 1 \right\} }}$$

Kommentar: Jeg tolker oppgaveteksten som at vi skal finne én funksjon $f(x)$ som passer til grafen. Generelt vil alle uttrykk på formen $\frac{3cx-6c}{cx-c}$ der $\left( c\in \mathbb{R} \right)\wedge\left( x\in \mathbb{R}\setminus \left\{ 1 \right\} \right)$ passe til grafen, så det kan godt være at dette generelle uttrykket er et bedre svar på oppgaven.