Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Figuren viser et kvadrat $A B C D$ med side $a$ . Diagonalene $A C$ og $B D$ skjærer hverandre i punktet $F$ .

Kvadrat ABCD med diagonaler og skjæringspunkt F

Forklar at $A C ⟂ B D$

Forklar at arealet av kvadratet er $\frac{1}{2} A C \cdot B D$

Fasit

$A C ⟂ B D$ (vist)

$A_{A B C D} = \frac{1}{2} A C \cdot B D$ (vist)

LøsningsforslagKI-generert

Vi legger et koordinatsystem med $A = (0,0)$ , $B = (a, 0)$ , $C = (a, a)$ og $D = (0, a)$ , i tråd med figuren.

Diagonalvektorene blir

\vec{A C} = (a, a) \vec{B D} = D - B = (0 - a, a - 0) = (- a, a)

To vektorer står vinkelrett på hverandre nettopp når skalarproduktet er $0$ :

\vec{A C} \cdot \vec{B D} = a \cdot (- a) + a \cdot a = - a^{2} + a^{2} = 0

Siden skalarproduktet er $0$ , er $A C ⟂ B D$ .

I et kvadrat er diagonalene like lange og halverer hverandre, så $F$ er midtpunkt på begge diagonalene:

A F = F C = \frac{A C}{2} B F = F D = \frac{B D}{2}

Diagonalene deler kvadratet i fire trekanter $△ A F B$ , $△ B F C$ , $△ C F D$ og $△ D F A$ . Alle fire har rett vinkel i $F$ (vist i a)) og kateter $\frac{A C}{2}$ og $\frac{B D}{2}$ , så de er kongruente og har samme areal:

A_{△} = \frac{1}{2} \cdot \frac{A C}{2} \cdot \frac{B D}{2} = \frac{A C \cdot B D}{8}

Arealet av kvadratet er summen av de fire trekantarealene:

A_{A B C D} = 4 \cdot \frac{A C \cdot B D}{8} = \frac{1}{2} A C \cdot B D

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

En påstand om at diagonalene i et kvadrat står vinkelrett på hverandre uten nærmere begrunnelse gir ingen uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2012, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometri, Vektorer, Bevis, Areal og omkrets

Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Kvadrat med diagonaler ortogonalitet og areal

Lov på eksamen

Temaer