Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

I en krukke er det 2 hvite og 6 svarte kuler. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging.

Bestem sannsynligheten for at minst én av kulene er hvit.

I en annen krukke ligger det et ukjent antall kuler. Her er 2 av kulene hvite, mens resten av kulene er svarte. Du skal tilfeldig trekke 2 kuler uten tilbakelegging. Du ønsker at sannsynligheten for at du trekker 2 svarte kuler, skal være minst 50 prosent.

Lag en algoritme som du kan bruke for å bestemme det minste antallet svarte kuler som det da må være i krukken. Ta med nødvendige formler som du må bruke for å følge algoritmen.

Fasit

$P(\text{minst én hvit}) = \dfrac{13}{28}$

Det må være minst 6 svarte kuler.

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker komplementærregning: $P(\text{minst én hvit}) = 1 - P(\text{ingen hvite})$ .

Alle mulige måter å trekke 2 kuler fra 8:

\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

Antall måter å trekke 2 svarte kuler fra de 6 svarte:

\binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15

P(\text{ingen hvite}) = \frac{15}{28}

P(\text{minst én hvit}) = 1 - \frac{15}{28} = \frac{13}{28} \approx 0{,}464

La $s$ være antall svarte kuler. Totalt er det $s + 2$ kuler i krukken.

Formel som brukes:

P(\text{2 svarte}) = \frac{\binom{s}{2}}{\binom{s+2}{2}} = \frac{s(s-1)}{(s+2)(s+1)}

Algoritme:

Start med $s = 2$ (minste mulige antall for å i det hele tatt trekke 2 svarte).
Beregn $P = \dfrac{s(s-1)}{(s+2)(s+1)}$ .
Hvis $P \geq 0{,}5$ : stopp — $s$ er svaret.
Ellers: øk $s$ med 1 og gå til steg 2.

Gjennomføring:

$s$	$P(\text{2 svarte})$	$\geq 0{,}5$ ?
2	$\frac{2}{12} \approx 0{,}17$	nei
3	$\frac{6}{20} = 0{,}30$	nei
4	$\frac{12}{30} = 0{,}40$	nei
5	$\frac{20}{42} \approx 0{,}48$	nei
6	$\frac{30}{56} \approx 0{,}54$	ja

Det må være minst 6 svarte kuler i krukken.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Temaer: Sannsynlighet, Kombinatorikk

Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

Sync på tvers av enheter

Kuler i krukke sannsynlighet og algoritme

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave