Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Rikard kaster en kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen ${\vec{r}}_{A}$ til kulen gitt ved

{\vec{r}}_{A} (t) = [9 t, 1 + 7 t - 5 t^{2}]

Enheten på aksene er meter, og $x$ -aksen er langs bakken.

Kalkulator

Hvor langt kaster Rikard kulen i $x$ -retning?

Berit står 25 meter fra Rikard. Hun kaster en kule i retning mot Rikard samtidig som Rikard kaster sin kule. Etter $t$ sekunder er posisjonen ${\vec{r}}_{B}$ til Berits kule gitt ved

{\vec{r}}_{B} (t) = [25 - 8 t, 1 + 7 t - 5 t^{2}]

Kalkulator

Tegn grafene til ${\vec{r}}_{A}$ og ${\vec{r}}_{B}$ i samme koordinatsystem.

Kalkulator

Vil de to kulene treffe hverandre?

For hånd

Ville svaret i oppgave c) blitt annerledes dersom Berit hadde stått nærmere Rikard da hun kastet kulen? (Vi går ut fra at Berit kaster kulen med samme kraft og retning som når hun står 25 meter fra Rikard.)

Fasit

$x \approx 13,78 m$

Se graf i løsningsforslaget.

$Ja, kulene treffer hverandre$

$Nei, svaret ville blitt det samme$

LøsningsforslagKI-generert

Kulen til Rikard treffer bakken når $y$ -koordinaten i ${\vec{r}}_{A} (t)$ er lik $0$ :

1 + 7 t - 5 t^{2} = 0

Løst i CAS (se utklipp under c) gir dette to løsninger, hvorav den positive er

t = \frac{7 + \sqrt{69}}{10} \approx 1,531 s

Kastlengden finner vi ved å sette denne $t$ -verdien inn i $x$ -koordinaten $x = 9 t$ :

x = 9 \cdot 1,531 \approx 13,776 m

Rikard kaster kulen $x \approx 13,78 m$ .

Vi tegner de to banene som parameterkurver ${\vec{r}}_{A} (t) = (9 t, 1 + 7 t - 5 t^{2})$ (blå) og ${\vec{r}}_{B} (t) = (25 - 8 t, 1 + 7 t - 5 t^{2})$ (rød), begge for $t \in [0, 1,531]$ (tiden fra kast til kulene treffer bakken):

Grafene til rA og rB med skjæringspunktet markert

Vi ser at $y$ -koordinaten er nøyaktig den samme funksjonen av $t$ for begge kulene, $y (t) = 1 + 7 t - 5 t^{2}$ . Kulene har derfor alltid samme høyde ved samme tidspunkt $t$ , og de treffer hverandre nøyaktig når $x$ -koordinatene er like, altså når ${\vec{r}}_{A} (t) = {\vec{r}}_{B} (t)$ :

9 t = 25 - 8 t

Løst i CAS:

CAS-utregning: tGrunn, Kastlengde, LøsningC og PunktTreff

t = \frac{25}{17} \approx 1,471 s

Dette tidspunktet må ligge før begge kulene har truffet bakken, altså før $t \approx 1,531 s$ (fra a). Siden $1,471 < 1,531$ , er begge kulene fortsatt i luften når $x$ -koordinatene blir like. Kollisjonen skjer i punktet

(x, y) = (9 \cdot \frac{25}{17}, 1 + 7 \cdot \frac{25}{17} - 5 \cdot {(\frac{25}{17})}^{2}) \approx (13,24, 0,48)

noe som stemmer med grafen i b).

$Ja, kulene treffer hverandre, etter ca. 1,47 s, i punktet (13,24, 0,48)$ .

La avstanden mellom Rikard og Berit i stedet være $d < 25 m$ . Berit kaster med samme kraft og retning, så ${\vec{r}}_{B} (t) = (d - 8 t, 1 + 7 t - 5 t^{2})$ — kun startposisjonen i $x$ -retning endres, mens $y$ -koordinaten (og dermed tiden kulene er i luften, $t \approx 1,531 s$ ) er uendret.

Kulene treffer hverandre igjen når $x$ -koordinatene er like:

9 t = d - 8 t \Rightarrow t = \frac{d}{17}

Siden $d < 25$ , blir $t = \frac{d}{17} < \frac{25}{17} \approx 1,471 < 1,531$ . Kollisjonstidspunktet er altså fortsatt mindre enn tiden det tar før kulene treffer bakken, uansett hvor liten (positiv) avstanden $d$ er. Kulene vil derfor fortsatt treffe hverandre — bare tidligere og nærmere Berit enn i c).

$Nei, svaret ville ikke blitt annerledes — kulene ville fortsatt truffet hverandre$ .

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2020, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 8
Temaer: Vektorer, Parameterframstilling, Modellering

Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Kulekast modellert med vektorfunksjoner

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer