Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Et plan $α$ er gitt ved likningen

2 x + y - 2 z + 3 = 0

Kalkulator

Bestem likningen for den kuleflaten som har sentrum i punktet $S (11, 2, - 6)$ og som har $α$ som tangentplan.

Kalkulator

Bestem koordinatene til tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet $α$ .

Et plan $β$ er gitt ved

2 x + y - 2 z = 0

Dette planet skjærer kuleflaten langs en sirkel.

Kalkulator

Bestem radien i denne sirkelen.

Fasit

${(x - 11)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 169$

$T (\frac{7}{3}, - \frac{7}{3}, \frac{8}{3})$

$r = 5$

LøsningsforslagKI-generert

Kuleflaten har sentrum $S (11, 2, - 6)$ og radius lik avstanden fra $S$ til planet $α$ , siden $α$ er tangentplan til kuleflaten.

Avstanden fra et punkt $(x_{0}, y_{0}, z_{0})$ til et plan $a x + b y + c z + d = 0$ er gitt ved

d = \frac{| a x_{0} + b y_{0} + c z_{0} + d |}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}

Med $α : 2 x + y - 2 z + 3 = 0$ og $S (11,2, - 6)$ får vi

r = \frac{| 2 \cdot 11 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot (- 6) + 3 |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{| 22 + 2 + 12 + 3 |}{\sqrt{9}} = \frac{39}{3} = 13

Utregning i GeoGebra CAS

Skjermbildet bekrefter $r = 13$ . Likningen for kuleflaten blir dermed

{(x - 11)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 6)}^{2} = 169

Tangeringspunktet $T$ ligger på normallinjen fra $S$ til planet $α$ , altså på linjen

(x, y, z) = (11,2, - 6) + t \cdot (2,1, - 2)

der $(2,1, - 2)$ er normalvektoren til $α$ . Vi setter linjen inn i likningen for $α$ og løser for $t$ :

2 (11 + 2 t) + (2 + t) - 2 (- 6 - 2 t) + 3 = 0

22 + 4 t + 2 + t + 12 + 4 t + 3 = 0 \Rightarrow 39 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{13}{3}

Dette stemmer med skjermbildet over. Vi setter $t = - \frac{13}{3}$ inn i linjen:

x = 11 + 2 (- \frac{13}{3}) = \frac{7}{3}, y = 2 + (- \frac{13}{3}) = - \frac{7}{3}, z = - 6 - 2 (- \frac{13}{3}) = \frac{8}{3}

Dette stemmer med $T = (2,33333, - 2,33333, 2,66667)$ i skjermbildet. Tangeringspunktet er

T (\frac{7}{3}, - \frac{7}{3}, \frac{8}{3})

Planet $β : 2 x + y - 2 z = 0$ skjærer kuleflaten i en sirkel. Radien $r_{sirkel}$ i denne sirkelen finner vi ved å bruke at kuleflatens radius $R$ , avstanden $d$ fra sentrum $S$ til planet $β$ , og sirkelradien $r_{sirkel}$ danner en rettvinklet trekant:

r_{sirkel} = \sqrt{R^{2} - d^{2}}

Avstanden fra $S (11,2, - 6)$ til $β$ er

d = \frac{| 2 \cdot 11 + 1 \cdot 2 - 2 \cdot (- 6) |}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{| 22 + 2 + 12 |}{3} = \frac{36}{3} = 12

Dette stemmer med $d_{b} = 12$ i skjermbildet. Med $R = 13$ (fra a) og $d = 12$ blir sirkelradien

r_{sirkel} = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5

Radien i skjæringssirkelen er

r = 5

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2014, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Romgeometri, Kule, Plan

Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Kuleflate tangentplan og skjæringssirkel

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer