Kuleflate og tangentplan R2 V17

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kule har sentrum i $S (1, 3, 5)$ . Punktet $P (4, - 1, 5)$ ligger på kuleflaten.

Bestem en likning for kuleflaten.

Et plan $α$ tangerer kuleflaten i punktet $P$ .

Vis at $3 x - 4 y = 16$ er en likning for planet $α$ .

En annen kule har sentrum i $Q (2, 0, 7)$ . Planet $α$ tangerer også denne kuleflaten.

Bestem likningen til den nye kuleflaten.

Fasit

${(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 25$

Se løsningsforslag.

${(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 7)}^{2} = 4$

LøsningsforslagKI-generert

Radien i kuleflaten er lik avstanden fra sentrum $S (1, 3, 5)$ til punktet $P (4, - 1, 5)$ som ligger på kuleflaten:

\vec{S P} = (4 - 1, - 1 - 3, 5 - 5) = (3, - 4, 0)

r = | \vec{S P} | = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{25} = 5

Likningen for kuleflaten blir da

{(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 25

Planet $α$ tangerer kuleflaten i $P$ . Da står $α$ normalt på radien $\vec{S P}$ i punktet $P$ , altså er $\vec{S P} = (3, - 4, 0)$ en normalvektor til planet. Planlikningen gjennom $P (4, - 1, 5)$ med denne normalvektoren blir

3 (x - 4) - 4 (y - (- 1)) + 0 (z - 5) = 0

3 x - 12 - 4 y - 4 = 0

3 x - 4 y = 16

Dette viser at $3 x - 4 y = 16$ er en likning for planet $α$ .

Kulen med sentrum $Q (2, 0, 7)$ tangerer planet $α$ , som har likning $3 x - 4 y = 16$ , altså $3 x - 4 y + 0 z - 16 = 0$ med normalvektor $\vec{n} = (3, - 4, 0)$ .

Radien til den nye kulen er lik avstanden fra $Q$ til planet:

r = \frac{| 3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 0 \cdot 7 - 16 |}{\sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2} + 0^{2}}} = \frac{| 6 - 16 |}{5} = \frac{10}{5} = 2

Likningen for den nye kuleflaten blir da

{(x - 2)}^{2} + y^{2} + {(z - 7)}^{2} = 4

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2017, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Kule, Plan, Romgeometri, Vektorer

Kuleflate og tangentplan R2 V17

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate og tangentplan R2 V17

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate og tangentplan R2 V17

Kuleflate og tangentplan R2 V17

Lov på eksamen

Temaer