Kuleflate og plan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Punktene $A (1, 2, 1)$ og $B (3, 0, - 3)$ ligger på en kuleflate. $A B$ er en diameter til kuleflaten. Planet $γ$ er gitt ved likningen $x + 2 y + 2 z = 14$ .

Kalkulator

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet $γ$ .

Et plan $α$ har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet $γ$ .

Kalkulator

Bestem en likning for planet $α$ .

Fasit

$4 - \sqrt{6} \approx 1,55$

$x + 2 y + 2 z = - 10$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å utføre beregningene.

Kuleflate og plan – CAS-beregninger

Sentrum og radius:

Siden $A B$ er diameter, er sentrum $M$ midtpunktet av $A B$ :

M = (\frac{1 + 3}{2}, \frac{2 + 0}{2}, \frac{1 + (- 3)}{2}) = (2, 1, - 1)

Radius er halvparten av $| A B |$ :

r = \frac{| A B |}{2} = \frac{\sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(- 3 - 1)}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{4 + 4 + 16}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6}

Planet $γ$ har normalvektor $𝐧 = (1, 2, 2)$ med $| 𝐧 | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .

Avstanden fra sentrum $M (2, 1, - 1)$ til planet $γ : x + 2 y + 2 z = 14$ er:

d (M, γ) = \frac{| 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) - 14 |}{3} = \frac{| 2 + 2 - 2 - 14 |}{3} = \frac{12}{3} = 4

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet er avstanden fra sentrum minus radius:

d_{\min} = d (M, γ) - r = 4 - \sqrt{6} \approx 𝟏,𝟓𝟓

Den minste avstanden fra kuleflaten til planet $γ$ er $4 - \sqrt{6} \approx 1,55$ .

Planet $α$ er parallelt med $γ$ , altså på formen $x + 2 y + 2 z = D$ .

Avstanden fra $M (2, 1, - 1)$ til $α$ er den samme som til $γ$ , det vil si $4$ , men $α$ ligger på motsatt side av sentrum:

d (M, α) = \frac{| 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) - D |}{3} = \frac{| 2 - D |}{3} = 4

| 2 - D | = 12 ⟹ D = 14 eller D = - 10

$D = 14$ gir planet $γ$ selv, så $α$ har $D = - 10$ .

En likning for planet $α$ er $x + 2 y + 2 z = - 10$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

En god strategi kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Geometri
Kompetansemål: Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Kuleflate og plan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kuleflate og plan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kuleflate og plan

Kuleflate og plan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer