Kuleflate med sentrum og tangentplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En kuleflate er gitt ved likningen

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 6 z + 2 = 0

Kalkulator

Vis at punktet $P (2, 3, 5)$ ligger på kuleflaten.

Kalkulator

Bestem sentrum og radius til kulen.

Kalkulator

Bestem likningen til planet som tangerer kuleflaten i punktet $P$ .

Fasit

$P$ ligger på kuleflaten

$Sentrum (1, 1, 3), r = 3$

$x + 2 y + 2 z - 18 = 0$

LøsningsforslagKI-generert

CAS-utregning

Vi setter inn koordinatene til $P (2, 3, 5)$ i likningen for kuleflaten:

2^{2} + 3^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 - 6 \cdot 5 + 2 = 4 + 9 + 25 - 4 - 6 - 30 + 2 = 0

Siden likningen stemmer, ligger $P (2, 3, 5)$ på kuleflaten.

Vi fullfører kvadratene i likningen

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 2 y - 6 z + 2 = 0

{(x - 1)}^{2} - 1 + {(y - 1)}^{2} - 1 + {(z - 3)}^{2} - 9 + 2 = 0

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9

Dette er likningen for en kuleflate med sentrum $S (1, 1, 3)$ og radius $r = \sqrt{9} = 3$ .

Tangentplanet i punktet $P$ står normalt på radiusvektoren fra sentrum $S$ til $P$ . Denne vektoren blir normalvektor til planet:

\vec{n} = \vec{S P} = P - S = (2, 3, 5) - (1, 1, 3) = (1, 2, 2)

Likningen for planet gjennom $P (2, 3, 5)$ med normalvektor $\vec{n} = (1, 2, 2)$ er

1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y - 3) + 2 \cdot (z - 5) = 0

x - 2 + 2 y - 6 + 2 z - 10 = 0

x + 2 y + 2 z - 18 = 0

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2014, del 2, oppgave 2
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Kule, Romgeometri, Plan

Innstillinger