Kule sentrum og tangentplan

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Likningen til en kule er gitt ved

x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 6 z - 14 = 0

Kalkulator

Vis at kula har sentrum i $(2, - 3, 3)$ . Bestem radien til kula.

En rett linje $l$ gjennom sentrum er gitt ved

l : {\begin{matrix} x = 2 + 2 t \\ y = - 3 + 4 t \\ z = 3 + 4 t \end{matrix}

Kalkulator

Bestem skjæringspunktene for $l$ og kula.

Planene $α$ og $β$ tangerer kula i hvert sitt skjæringspunkt.

Kalkulator

Bestem likningene til planene $α$ og $β$ .

Fasit

$Sentrum (2, - 3,3), r = 6$

$(4,1,7) og (0, - 7, - 1)$

$α : x + 2 y + 2 z = 20, β : x + 2 y + 2 z = - 16$

LøsningsforslagKI-generert

Vi fullfører kvadratene i kulelikningen

x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y + z^{2} - 6 z - 14 = 0

(x^{2} - 4 x + 4) - 4 + (y^{2} + 6 y + 9) - 9 + (z^{2} - 6 z + 9) - 9 - 14 = 0

{(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36

Dette er likningen til en kule med sentrum $(2, - 3, 3)$ og radius $r = \sqrt{36} = 6$ .

$Sentrum (2, - 3,3), r = 6$

Vi setter parameterframstillingen til $l$ inn i kulelikningen på formen ${(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 36$ . Siden

x - 2 = 2 t, y + 3 = 4 t, z - 3 = 4 t

får vi

{(2 t)}^{2} + {(4 t)}^{2} + {(4 t)}^{2} = 36

4 t^{2} + 16 t^{2} + 16 t^{2} = 36

36 t^{2} = 36 \Rightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = \pm 1

Løst i CAS (se skjermbilde), som stadfester $t = - 1$ og $t = 1$ .

For $t = 1$ : $(x, y, z) = (2 + 2, - 3 + 4, 3 + 4) = (4, 1, 7)$

For $t = - 1$ : $(x, y, z) = (2 - 2, - 3 - 4, 3 - 4) = (0, - 7, - 1)$

Løsning i CAS

$(4,1,7) og (0, - 7, - 1)$

Siden $l$ går gjennom sentrum, er retningsvektoren til $l$ også normalvektor til kula (og dermed til tangentplanet) i skjæringspunktene. Retningsvektoren til $l$ er $\vec{v} = (2, 4, 4)$ , som vi forenkler til $\vec{n} = (1, 2, 2)$ .

Plan $α$ gjennom $P_{1} = (4, 1, 7)$ :

1 (x - 4) + 2 (y - 1) + 2 (z - 7) = 0

x + 2 y + 2 z - 4 - 2 - 14 = 0

α : x + 2 y + 2 z = 20

Plan $β$ gjennom $P_{2} = (0, - 7, - 1)$ :

1 (x - 0) + 2 (y + 7) + 2 (z + 1) = 0

x + 2 y + 2 z + 14 + 2 = 0

β : x + 2 y + 2 z = - 16

CAS-beregningen (se skjermbilde over) bekrefter konstantene $c_{1} = 20$ og $c_{2} = - 16$ .

$α : x + 2 y + 2 z = 20, β : x + 2 y + 2 z = - 16$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

En fullgod besvarelse må ha med begge skjæringspunktene. Det kan være aktuelt å bruke CAS-verktøy.

De to planlikningene er like, bortsett fra konstantleddet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2011, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: Kule, Romgeometri, Plan, Parameterframstilling

Kule sentrum og tangentplan

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kule sentrum og tangentplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kule sentrum og tangentplan

Kule sentrum og tangentplan

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer