Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - k x + 6, D_{f} = ℝ

Bestem $k$ slik at divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp.

I resten av oppgaven bruker vi denne $k$ -verdien.

Faktoriser $f (x)$ i lineære faktorer.

Løs ulikheten $f (x) \geq 0$ .

Fasit

$k = 5$

$f (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)$

$- 2 \leq x \leq 1 eller x \geq 3$

LøsningsforslagKI-generert

At divisjonen $f (x) : (x - 1)$ går opp betyr at $x = 1$ er et nullpunkt for $f$ , altså at $f (1) = 0$ . Vi setter inn $x = 1$ i uttrykket for $f (x)$ .

f (1) = 1^{3} - 2 \cdot 1^{2} - k \cdot 1 + 6 = 5 - k

Setter dette lik null og løser for $k$ .

5 - k = 0 \Rightarrow k = 5

Med $k = 5$ er $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6$ . Siden $x = 1$ er et nullpunkt, kan vi utføre polynomdivisjonen $f (x) : (x - 1)$ .

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = (x - 1) (x^{2} - x - 6)

Andregradsuttrykket $x^{2} - x - 6$ faktoriseres videre. Vi søker to tall som ganget gir $- 6$ og summert gir $- 1$ : dette er $- 3$ og $2$ .

x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)

Dermed er

f (x) = (x - 1) (x - 3) (x + 2)

Vi skal løse ulikheten $f (x) \geq 0$ , altså $(x - 1) (x - 3) (x + 2) \geq 0$ . Nullpunktene til $f$ er $x = - 2$ , $x = 1$ og $x = 3$ . Vi setter opp en fortegnslinje for de tre faktorene.

\begin{matrix} x & - 2 & 1 & 3 \\ x + 2 & - & 0 & + & + & + & + \\ x - 1 & - & - & 0 & + & + \\ x - 3 & - & - & - & 0 & + \\ f (x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \end{matrix}

Vi leser av hvor $f (x) \geq 0$ , altså der produktet er positivt eller null.

- 2 \leq x \leq 1 eller x \geq 3

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2015, del 1, oppgave 3
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Polynomdivisjon, Faktorisering, Ulikheter

Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Kubisk polynom med delbarhet og ulikhet

Lov på eksamen

Temaer