Kubikktall og induksjonsbevis

De fem første kubene

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

For hånd

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n + 1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .

Oppsett for hånd

Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.

For hånd

Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for $S_{n}$ .

Fasit

$S_{n + 1} = S_{n} + {(n + 1)}^{3}$ og $S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})$

$S_{50} = 1 625 625$

Løsningsforslag

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{matrix} S_{1} & = 1^{3} \\ S_{2} & = 1^{3} + 2^{3} = S_{1} + 2^{3} \\ S_{3} & = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = S_{2} + 3^{3} \end{matrix}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

S_{n + 1} = S_{n} + {(n + 1)}^{3}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

Regresjonsanalyse i GeoGebra: regnearket inneholder n fra 1 til 9 i kolonne A og summene 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296 og 2025 i kolonne B. Polynomregresjon av fjerde grad gir y = 0,25x⁴ + 0,5x³ + 0,25x², og kurven går gjennom alle punktene.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50} = 1 625 625$ .

Påstanden vår er at

S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2}), n \geq 1

Vi viser først at formelen stemmer for $k = 1$ .

S_{1} = \frac{1}{4} (1^{4} + 2 \cdot 1^{3} + 1^{2}) = \frac{1}{4} (1 + 2 + 1) = 1 ✓

Vi antar at formelen stemmer for $k = n$ . Vi finner $S_{k + 1}$ .

S_{k + 1} = \frac{1}{4} ({(k + 1)}^{4} + 2 {(k + 1)}^{3} + {(k + 1)}^{2})

Så finner vi $S_{k + 1}$ ved å bruke den rekursive formelen.

S_{k + 1} = S_{k} + {(k + 1)}^{3} = \frac{1}{4} (k^{4} + 2 k^{3} + k^{2}) + {(k + 1)}^{3}

Vi tester om disse er identiske.

\frac{1}{4} ({(k + 1)}^{4} + 2 {(k + 1)}^{3} + {(k + 1)}^{2}) = \frac{1}{4} (k^{4} + 2 k^{3} + k^{2}) + {(k + 1)}^{3}

Tester identiteten i CAS ✔︎

Venstre side er lik høyre side. Vi har vist at formlen gjelder for $n = 1$ og at dersom formelen gjelder for $n = k$ så gjelder den også for $n = k + 1$ . Vi har derfor bevist ved induksjon at følgende formel gjelder for summen av kubikktallene:

S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig rekursiv sammenheng gir 1 poeng og riktig eksplisitt formel gir 1 poeng.

Kandidater som lager et program med den eksplisitte formelen, får ingen uttelling. Program med en god strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

Induksjonsbeviset må kommuniseres godt for å få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Rekursiv sammenheng, Figurtall, Programmering, Bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

Kubikktall og induksjonsbevis

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kubikktall og induksjonsbevis

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kubikktall og induksjonsbevis

Kubikktall og induksjonsbevis

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer