Kubikktall og induksjonsbevis

De fem første kubene

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n+1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .

Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.

Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for $S_{n}$ .

Fasit

$S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}$ og $S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+2n^{3}+n^{2} \right)$

$S_{50}=1\,625\,625$

Løsningsforslag

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{aligned} S_{1}&=1^{3}\\ S_{2}&=1^{3}+2^{3}=S_{1}+2^{3}\\ S_{3}&=1^{3}+2^{3}+3^{3}=S_{2}+3^{3} \end{aligned}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

\underline{\underline{S_{n+1}=S_{n}+(n+1)^{3}}}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n}=\underline{\underline{\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right)}}

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50}=1 \, 625 \, 625$ .

Påstanden vår er at

S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right), \quad n \geq 1

Vi viser først at formelen stemmer for $k=1$ .

S_{1}=\frac{1}{4}\left( 1^{4}+2 \cdot 1^{3} + 1^{2} \right) =\frac{1}{4}\left( 1+2+1 \right) = 1 \quad \checkmark

Vi antar at formelen stemmer for $k=n$ . Vi finner $S_{k+1}$ .

S_{k+1}=\frac{1}{4}\left( (k+1)^{4}+ 2(k+1)^{3}+(k+1)^{2} \right)

Så finner vi $S_{k+1}$ ved å bruke den rekursive formelen.

S_{k+1}=S_{k}+(k+1)^{3}=\frac{1}{4}\left( k^{4}+ 2k^{3}+k^{2} \right)+(k+1)^{3}

Vi tester om disse er identiske.

\frac{1}{4}\left( (k+1)^{4}+ 2(k+1)^{3}+(k+1)^{2} \right)=\frac{1}{4}\left( k^{4}+ 2k^{3}+k^{2} \right)+(k+1)^{3}

Tester identiteten i CAS ✔︎

Venstre side er lik høyre side. Vi har vist at formlen gjelder for $n=1$ og at dersom formelen gjelder for $n=k$ så gjelder den også for $n=k+1$ . Vi har derfor bevist ved induksjon at følgende formel gjelder for summen av kubikktallene:

S_{n}=\frac{1}{4}\left( n^{4}+ 2n^{3}+n^{2} \right)

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: rekursiv sammenheng, figurtall, programmering, bevis
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter