Vi deriverer $g(x)=r-\sqrt{r^2-x^2}$ to ganger.

I $x=0$ gir dette $g^{\prime \prime }(0)={\displaystyle \frac{1}{r}}$.

For $h(x)=x^2$ er $h^{\prime }(x)=2x$ og $h^{\prime \prime }(x)=2$, så $h^{\prime \prime }(0)=2$.

Kravet $g^{\prime \prime }(0)=h^{\prime \prime }(0)$ gir

Vi bruker formelen for krumningsradius med $f=h$, $a=0$:

Dette stemmer overens med svaret i a), som det skal — krumningsradiusen til $h$ i origo er ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ enten vi finner den geometrisk (tangerende sirkel) eller via formelen.

For $f(x)=\ln (x)$ er $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ og $f^{\prime \prime }(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Setter vi dette inn i krumningsradius-formelen med $a$ som variabel, får vi funksjonen

Vi legger $f$, $f^{\prime }$, $f^{\prime \prime }$ og $r(a)$ inn i CAS og løser $r^{\prime }(a)=0$ for å finne minimum, siden $\text{d}(x)>0$ for hele definisjonsmengden til $f$ ($x>0$).

CAS gir $a={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ (den negative løsningen $a=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ ligger utenfor definisjonsmengden til $\ln (x)$, så den forkastes).

Videre gir CAS

Punktet på grafen til $f$ med minst krumningsradius er dermed

og den minste krumningsradiusen er $\underline{\underline{r={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\approx \mathrm{2,60}}}$.