Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Fire vektorer er gitt ved $\vec{u} = [3, - 2]$ , $\vec{v} = [4, - 6]$ , $\vec{w} = [2, - 3]$ og $\vec{p} = [8, 12]$

Avgjør om noen av vektorene er

like lange
ortogonale

En vektor er gitt ved $\vec{q} = [2 a - 3, 1 + 3 b]$

Bestem $a$ og $b$ slik at $\vec{u} + 2 \vec{q} = [7, 5]$

Fasit

$\vec{u}$ og $\vec{w}$ er like lange. $\vec{u}$ og $\vec{p}$ er ortogonale.

$a = \frac{5}{2}$ , $b = \frac{5}{6}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi beregner lengden av hver vektor:

| \vec{u} | = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}

| \vec{v} | = \sqrt{4^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}

| \vec{w} | = \sqrt{2^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

| \vec{p} | = \sqrt{8^{2} + 12^{2}} = \sqrt{64 + 144} = \sqrt{208} = 4 \sqrt{13}

$| \vec{u} | = | \vec{w} | = \sqrt{13}$ , så $\vec{u} og \vec{w} er like lange$ .

For å avgjøre ortogonalitet beregner vi skalarproduktet for alle par. To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null.

\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \cdot 4 + (- 2) \cdot (- 6) = 12 + 12 = 24 \neq 0

\vec{u} \cdot \vec{w} = 3 \cdot 2 + (- 2) \cdot (- 3) = 6 + 6 = 12 \neq 0

\vec{u} \cdot \vec{p} = 3 \cdot 8 + (- 2) \cdot 12 = 24 - 24 = 0

\vec{v} \cdot \vec{w} = 4 \cdot 2 + (- 6) \cdot (- 3) = 8 + 18 = 26 \neq 0

\vec{v} \cdot \vec{p} = 4 \cdot 8 + (- 6) \cdot 12 = 32 - 72 = - 40 \neq 0

\vec{w} \cdot \vec{p} = 2 \cdot 8 + (- 3) \cdot 12 = 16 - 36 = - 20 \neq 0

$\vec{u} \cdot \vec{p} = 0$ , så $\vec{u} og \vec{p} er ortogonale$ . Ingen andre par er ortogonale.

Vi setter inn $\vec{u} = [3, - 2]$ og $\vec{q} = [2 a - 3, 1 + 3 b]$ :

\vec{u} + 2 \vec{q} = [7, 5]

[3, - 2] + 2 [2 a - 3, 1 + 3 b] = [7, 5]

[3 + 4 a - 6, - 2 + 2 + 6 b] = [7, 5]

[4 a - 3, 6 b] = [7, 5]

Dette gir likningssystemet:

\begin{matrix} 4 a - 3 & = 7 \\ 6 b & = 5 \end{matrix}

Fra første likning: $4 a = 10$ , altså $a = \frac{5}{2}$ .

Fra andre likning: $b = \frac{5}{6}$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

1 poeng for å finne vektorene som er like lange, og 1 poeng for å finne de som er ortogonale. Kandidaten må begrunne enten ved regning eller ved argumentasjon for å få full uttelling.

1 poeng for å sette opp vektorlikningen og 1 poeng for riktig utregning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2024, del 1, oppgave 5
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Vektorer
Kompetansemål: Forstå begrepet vektor og regneregler for vektorer i planet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i planet

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Lov på eksamen

Temaer