Konvergensområde for rekke med ln x

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

2 + \ln x + \frac{{(\ln x)}^{2}}{2} + \dots

Bestem konvergensområdet til rekka.

Bestem $x$ slik at summen av rekka blir 4.

Fasit

$e^{- 2} < x < e^{2}$

$x = e$

LøsningsforslagKI-generert

Rekka er geometrisk med første ledd $a_{1} = 2$ . Vi finner kvotienten $k$ ved å dividere det andre leddet på det første:

k = \frac{\ln x}{2}

En geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ :

| \frac{\ln x}{2} | < 1 \Rightarrow - 2 < \ln x < 2

Vi løser ulikheten ved å ta $e^{(\cdot)}$ på alle ledd:

e^{- 2} < x < e^{2}

Dette er også innafor definisjonsområdet til $\ln x$ (som krever $x > 0$ ), så konvergensområdet er

e^{- 2} < x < e^{2}

Summen av en konvergent uendelig geometrisk rekke er $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ . Vi setter inn $a_{1} = 2$ og $k = \frac{\ln x}{2}$ , og setter summen lik 4:

\frac{2}{1 - \frac{\ln x}{2}} = 4

\frac{4}{2 - \ln x} = 4

2 - \ln x = 1

\ln x = 1

x = e

Siden $\ln e = 1$ gir $k = \frac{1}{2}$ , som oppfyller $| k | < 1$ fra a), er dette en gyldig løsning:

x = e

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 6
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens

Konvergensområde for rekke med ln x

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Konvergensområde for rekke med ln x

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Konvergensområde for rekke med ln x

Konvergensområde for rekke med ln x

Lov på eksamen

Temaer