På figuren er grafen til $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ tegnet sammen med rektangler. Det $\text{blå}$ rektanglet på intervallet $[n-1,n]$ har bredde $1$ og høyde ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$, altså areal ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$.

Siden $f$ er avtakende, er $f(n)\le f(x)$ for alle $x\in [n-1,n]$. Det betyr at høyden ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}=f(n)$ er mindre enn eller lik $f(x)$ på hele intervallet, så rektanglet ligger under grafen til $f$ der. Arealet av rektanglet er derfor mindre enn eller lik arealet under grafen på samme intervall:

Summerer vi dette for $n=2,3,\dots ,k$, ligger alle de blå rektanglene under grafen på intervallet $[1,k]$, og summen av arealene deres er derfor mindre enn eller lik hele arealet under grafen på $[1,k]$:

Det $\text{røde}$ rektanglet på $[0,1]$ har høyde $1$ og areal ${\displaystyle \frac{1}{1^2}}=1$, og kommer i tillegg. Legger vi til dette leddet på begge sider, får vi

som er det vi skulle forklare.

Vi regner ut integralet fra a):

Siden $k\ge 1$, er ${\displaystyle \frac{1}{k}}>0$, så $1-{\displaystyle \frac{1}{k}}<1$ for alle $k$. Fra a) har vi dermed

for alle $k\in \mathbb{N}$. Altså er alle delsummene i rekka mindre enn $2$.

Leddene i rekka $S={\sum }_{n=1}^{\infty }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$ er alle positive, så delsummene er en voksende følge. Siden denne voksende følgen samtidig er begrenset oppad av $2$, må den konvergere mot en grenseverdi som er mindre enn eller lik $2$. Dermed konvergerer rekka, og

Vi bruker CAS til å beregne den uendelige summen direkte.

CAS gir ${\displaystyle \frac{1}{6}}{\pi }^2$, altså

Dette stemmer med at $S<2$, slik vi begrunnet i b).