Kontorstempel som omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fabrikk lager skaft til et kontorstempel. Skaftet ser ut som det omdreiningslegemet vi får når vi dreier grafen til $f$ 360° om $x$ -aksen, der

f (x) = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot e^{- \frac{x}{3}}, x \in [0, 4]

Kontorstempel

Kalkulator

Tegn grafen til $f$ . Finn diameteren til skaftet der skaftet er bredest.

Kalkulator

Bestem volumet av skaftet.

Fasit

$d \approx 2,97$ ved $x = \frac{3}{2}$

$V \approx 21,07$ (volumenheter)

LøsningsforslagKI-generert

Vi tegner grafen til $f (x) = 2 \cdot \sqrt{x} \cdot e^{- \frac{x}{3}}$ på intervallet $[0, 4]$ i GeoGebra.

Graf av f med maksimumspunkt

Skaftet er bredest der $f$ har toppunktet sitt, siden $f (x)$ er radiusen til omdreiningslegemet i hvert punkt $x$ . Vi deriverer:

f^{'} (x) = 2 \cdot e^{- \frac{x}{3}} \cdot (\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{3})

Setter $f^{'} (x) = 0$ for $x > 0$ :

\frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}}{3} \Rightarrow 3 = 2 x \Rightarrow x = \frac{3}{2}

Dette stemmer med toppunktet $E = (1,5, 1,4857)$ som GeoGebra finner på grafen. Siden $f (x)$ er radiusen, er diameteren til skaftet dobbelt så stor:

d = 2 \cdot f (\frac{3}{2}) = 2 \cdot 2 \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot e^{- \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{6} \cdot e^{- \frac{1}{2}} \approx 2,97

Skaftet er altså bredest der $x = \frac{3}{2}$ , med diameter $d \approx 2,97$ .

Volumet av omdreiningslegemet finner vi ved å dreie grafen til $f$ om $x$ -aksen:

V = π \int_{0}^{4} {[f (x)]}^{2} d x = π \int_{0}^{4} 4 x \cdot e^{- \frac{2 x}{3}} d x

Vi løser integralet i GeoGebra CAS.

CAS-utregning av volumintegralet

CAS gir det eksakte uttrykket

V = π (9 - 33 \cdot e^{- \frac{8}{3}}) \approx 21,07

Volumet av skaftet er dermed $V \approx 21,07$ (volumenheter, siden lengdeenheten ikke er oppgitt i teksten).

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

En godt framstilt løsning med digitalt verktøy må gi full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2011, del 2, oppgave 3
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Omdreiningslegeme, Funksjonsdrøfting, Volum, Integrasjon

Innstillinger