Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Om trekantene $A B C$ og $D E F$ får du vite dette:

$∠ B = ∠ E = 90^{\circ}$
$\tan A = \tan D = \frac{5}{12}$
$A C = 2 D F$

Lag en skisse som viser hvordan trekantene kan se ut. Sett mål på skissen.

Fasit

Trekant $A B C$ er formlik med trekant $D E F$ , og alle sidene i $A B C$ er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i $D E F$ . Et eksempel: $D E = 12$ , $E F = 5$ , $D F = 13$ og $A B = 24$ , $B C = 10$ , $A C = 26$ .

LøsningsforslagKI-generert

Begge trekantene er rettvinklede, med rett vinkel i henholdsvis $B$ og $E$ . Siden $\tan A = \tan D$ , og tangens er en-til-en for vinkler mellom $0 °$ og $90 °$ , må $∠ A = ∠ D$ . To rettvinklede trekanter med en lik spiss vinkel har også lik sum av vinkler, så trekantene $A B C$ og $D E F$ er formlike.

I trekant $A B C$ er $∠ B = 90 °$ , så $A$ og $C$ er de spisse vinklene, med $B C$ motstående katet og $A B$ hosliggende katet til $A$ :

\tan A = \frac{B C}{A B} = \frac{5}{12}

Vi kan derfor sette $B C = 5 k$ og $A B = 12 k$ for en skaleringsfaktor $k > 0$ . Siden $5$ - $12$ - $13$ er en pytagoreisk trippel, blir hypotenusen

A C = \sqrt{{(5 k)}^{2} + {(12 k)}^{2}} = \sqrt{25 k^{2} + 144 k^{2}} = \sqrt{169 k^{2}} = 13 k

Tilsvarende i trekant $D E F$ : $E F = 5 m$ , $D E = 12 m$ , $D F = 13 m$ , for en skaleringsfaktor $m > 0$ .

Vi bruker opplysningen $A C = 2 D F$ :

13 k = 2 \cdot 13 m

k = 2 m

Det betyr at alle sidene i $A B C$ er dobbelt så lange som de tilsvarende sidene i $D E F$ .

Vi velger for eksempel $m = 1$ . Da får trekant $D E F$ sidene

D E = 12, E F = 5, D F = 13

og trekant $A B C$ (dobbelt så stor) sidene

A B = 24, B C = 10, A C = 26

En skisse av de to trekantene, med rett vinkel i $E$ og $B$ og mål på sidene, kan se slik ut:

Skisse av trekant DEF og trekant ABC

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2017, del 1, oppgave 13
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Trigonometri, Formlike trekanter, Rettvinklet trekant, Geometri

Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Konstruksjon og skisse av formlike rettvinklede trekanter med tangens

Lov på eksamen

Temaer