Kikhoste og eksponentiell modell

Tabellen nedenfor viser antallet registrerte tilfeller av kikhoste i Norge noen måneder i perioden januar 2023–oktober 2024.

Måned	Januar 2023	Mai 2023	Oktober 2023	Februar 2024	August 2024	Oktober 2024
Registrerte tilfeller	29	93	164	284	1035	1657

La $x$ være antall måneder etter desember 2022, det vil si at $x = 1$ tilsvarer januar 2023, $x = 3$ tilsvarer mars 2023, og så videre.

Kalkulator

Bruk opplysningene ovenfor til å vise at funksjonen $K$ gitt ved

K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}

er en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i Norge i perioden januar 2023–oktober 2024.

Kalkulator

Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ .
Gi en praktisk tolkning av svaret du får.

Kalkulator

Hvor mange tilfeller av kikhoste vil bli registrert i Norge i mai 2025 ifølge modellen?

Fasit

Modellverdiene ligger nær de observerte verdiene – $K$ er en god modell.

$Stigning \approx 71,84 tilfeller per måned$

$K (29) \approx 5499 tilfeller$

LøsningsforslagKI-generert

Vi definerer $K (x) = 27,8 \cdot {1,2}^{x}$ i GeoGebra CAS og beregner alle deloppgavene i én sesjon.

CAS-beregninger for alle deloppgaver

Vi beregner $K (x)$ for de seks månedene i tabellen og sammenligner med de observerte verdiene:

Måned	$x$	Observert	$K (x)$
Januar 2023	1	29	$\approx 33$
Mai 2023	5	93	$\approx 69$
Oktober 2023	10	164	$\approx 172$
Februar 2024	14	284	$\approx 357$
August 2024	20	1035	$\approx 1066$
Oktober 2024	22	1657	$\approx 1535$

Modellverdiene er av samme størrelsesorden som de observerte verdiene i alle månedene. Avvikene er relativt små sammenlignet med de faktiske tallene. $K$ er derfor en god modell for antall registrerte tilfeller av kikhoste i perioden.

Vi beregner stigningstallet til linjen gjennom $(4, K (4))$ og $(21, K (21))$ :

\frac{K (21) - K (4)}{21 - 4} = \frac{1278,94 - 57,65}{17} \approx 71,84

Praktisk tolkning: I gjennomsnitt økte antallet registrerte kikhoste-tilfeller med ca. $𝟕𝟐$ tilfeller per måned i perioden fra mai 2023 ( $x = 4$ ) til september 2024 ( $x = 21$ ).

Mai 2025 er 29 måneder etter desember 2022, altså $x = 29$ .

K (29) = 27,8 \cdot {1,2}^{29} \approx 5499 tilfeller

Ifølge modellen vil det bli registrert ca. 5499 tilfeller av kikhoste i Norge i mai 2025.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 5 poeng

For å få full uttelling, må kandidaten vise hvordan utrykket framkommer med utgangspunkt i dataverdiene som er gitt. En kandidat som bruker det gitte uttrykket, tegner grafen, og viser at dataverdiene gir punkt som tilnærmet ligger på denne, kan få 1 poeng. En kandidat som bruker regresjon, men ikke kommer fram til en eksponentialfunksjon, får ingen uttelling.

I utgangspunktet gis 1 poeng for riktig stigningstall og 1 poeng for en riktig praktisk tolkning av stigningstallet. For å få uttelling for en praktisk tolkning, må det gå tydelig fram at det er en gjennomsnittlig økning i antall registrerte tilfeller per måned.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T V2025, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 5
Temaer: Eksponentiell vekst, Modellering, Gjennomsnittlig vekstfart
Kompetansemål: Modellere situasjonar knytte til ulike tema, drøfte, presentere og forklare resultata og argumentere for om modellane er gyldige
Utforske og beskrive eigenskapane ved polynomfunksjonar, rasjonale funksjonar, eksponentialfunksjonar og potensfunksjonar

Kikhoste og eksponentiell modell

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Kikhoste og eksponentiell modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Kikhoste og eksponentiell modell

Kikhoste og eksponentiell modell

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer