Eratosthenes (ca. 276–194 f.Kr.) var matematiker, astronom og geograf. Han var leder for det berømte biblioteket i Aleksandria i Egypt.

Eratosthenes hevdet at jorda var kuleformet.

Han regnet ut omkretsen av jorda – en av de store vitenskapelige prestasjonene i antikken.

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er 12 756 km.

a) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Regn ut jordas radius og omkrets.

Eratosthenes beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to byer, Aleksandria og Syene. Aleksandria lå nord for Syene.

Da sola sto høyest på himmelen en dag i Aleksandria, laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle. Samtidig skinte solstrålene rett ned i en loddrett brønn i byen Syene.

Eratosthenes fant at vinkelen mellom søylen og solstrålene var ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ av $360°$.

b) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Regn ut hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.

Avstanden mellom Aleksandria og Syene var 5 000 egyptiske stadion. 1 stadion = 157,5 m.

c) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.

Vi regner med at 71 % av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten $O$ av en kule er gitt ved formelen $O=4\pi r^2$.

d) Hjelpemiddelkrav: Kalkulator

Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann? Oppgi svaret ditt på standardform.

Fasit

a)

$\underline{\underline{r\approx 6378\mathrm{km}}}$, $\underline{\underline{O\approx 40074\mathrm{km}}}$

b)

$\underline{\underline{v=\mathrm{7,2}°}}$

c)

$\underline{\underline{\mathrm{787,5}\mathrm{km}}}$

d)

$\underline{\underline{\mathrm{3,63}\cdot {10}^8{\mathrm{km}}^2}}$

LøsningsforslagKI-generert

a)

Diameteren er $d=12756\mathrm{km}$. Radiusen er halvparten av diameteren:

$$r=\frac{12756}{2}=6378\mathrm{km}$$

Omkretsen av en sirkel (og dermed av jorda) er gitt ved $O=\pi \cdot d$:

$$O=\pi \cdot 12756\approx 40074\mathrm{km}$$

b)

Vinkelen er ${\displaystyle \frac{1}{50}}$ av $360°$:

$$v=\frac{1}{50}\cdot 360°=\mathrm{7,2}°$$

c)

Vi regner om avstanden fra stadion til meter ved å multiplisere med $\mathrm{157,5}$:

$$5000\cdot \mathrm{157,5}\mathrm{m}=787500\mathrm{m}$$

Vi regner om til kilometer ved å dele på $1000$:

$$787500\mathrm{m}÷1000=\mathrm{787,5}\mathrm{km}$$

Avstanden mellom Aleksandria og Syene var altså $\underline{\underline{\mathrm{787,5}\mathrm{km}}}$.

d)

Overflaten av jorda regner vi ut med formelen $O=4\pi r^2$, med radiusen $r=6378\mathrm{km}$ fra a):

$$O=4\cdot \pi \cdot {6378}^2\approx 511185933{\mathrm{km}}^2$$

Arealet som er dekket av vann er $71\%$ av dette:

$$\mathrm{0,71}\cdot 511185933\approx 362942012{\mathrm{km}}^2$$

Til slutt skriver vi svaret på standardform, altså som et tall mellom $1$ og $10$ ganget med en tierpotens:

$$362942012\approx \underline{\underline{\mathrm{3,63}\cdot {10}^8{\mathrm{km}}^2}}$$