Integrasjon med delvis integrasjon og partialbrøk

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int (\cos x + \frac{1}{x}) d x

\int x \cdot e^{2 x} d x

\int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x - 3} d x

Fasit

$\sin x + \ln | x | + C$

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

$\ln | x^{2} - 2 x - 3 | + C$

LøsningsforslagKI-generert

Vi integrerer ledd for ledd, ved hjelp av standardintegralene $\int \cos x d x = \sin x$ og $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x |$ .

\int (\cos x + \frac{1}{x}) d x = \sin x + \ln | x | + C

Vi bruker delvis integrasjon, $\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x$ , med $u = x$ og $v^{'} = e^{2 x}$ .

Da er $u^{'} = 1$ og $v = \frac{1}{2} e^{2 x}$ .

\int x \cdot e^{2 x} d x = x \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} - \int 1 \cdot \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C

Vi faktoriserer nevneren: $x^{2} - 2 x - 3 = (x - 3) (x + 1)$ , og setter opp partialbrøkoppspaltingen

\frac{2 x - 2}{(x - 3) (x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}

Multipliserer vi begge sider med $(x - 3) (x + 1)$ , får vi

2 x - 2 = A (x + 1) + B (x - 3)

Setter vi inn $x = 3$ : $4 = 4 A \Rightarrow A = 1$ .

Setter vi inn $x = - 1$ : $- 4 = - 4 B \Rightarrow B = 1$ .

Dermed er

\int \frac{2 x - 2}{x^{2} - 2 x - 3} d x = \int (\frac{1}{x - 3} + \frac{1}{x + 1}) d x = \ln | x - 3 | + \ln | x + 1 | + C = \ln | x^{2} - 2 x - 3 | + C

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2020, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 1
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Integrasjon, Trigonometri

Innstillinger