Integral av sinuspotens og x ln x

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bestem integralene

\int \cos x \cdot {(1 + \sin x)}^{3} d x

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x

Fasit

$\frac{{(1 + \sin x)}^{4}}{4} + C$

$\frac{e^{2} + 1}{4}$

LøsningsforslagKI-generert

Vi løser $\int \cos x \cdot {(1 + \sin x)}^{3} d x$ ved substitusjon. Vi setter

u = 1 + \sin x \frac{d u}{d x} = \cos x \Rightarrow d u = \cos x d x

Integralet blir da

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C

Vi setter tilbake $u = 1 + \sin x$ :

\int \cos x \cdot {(1 + \sin x)}^{3} d x = \frac{{(1 + \sin x)}^{4}}{4} + C

Vi løser $\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x$ med delvis integrasjon, $\int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x$ . Vi velger

u = \ln x, v^{'} = x \Rightarrow u^{'} = \frac{1}{x}, v = \frac{x^{2}}{2}

Da blir

\int x \ln x d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \int \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4} + C

Vi setter inn grensene:

{[\frac{x^{2}}{2} \ln x - \frac{x^{2}}{4}]}_{1}^{e} = (\frac{e^{2}}{2} \cdot 1 - \frac{e^{2}}{4}) - (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{4}) = \frac{e^{2}}{4} + \frac{1}{4}

\int_{1}^{e} x \cdot \ln x d x = \frac{e^{2} + 1}{4}

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 1, oppgave 2
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Integrasjon, Substitusjon, Delvis integrasjon

Innstillinger