Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En rettvinklet $△ A B C$ der $∠ C = 90 °$ er gitt. Den innskrevne sirkelen har sentrum i $S$ og radius $r$ . Sirkelen tangerer trekanten i punktene $D$ , $E$ og $F$ . Vi setter $A C = b$ , $B C = a$ og $A B = c$ . Du får oppgitt at $B F = B E$ og $A D = A E$ .

Rettvinklet trekant med innskrevet sirkel

Bruk figuren til å forklare at $a = B F + r$ og $b = A D + r$

Av figuren ser vi dessuten at $c = A E + B E$ .

Vis at $a + b - c = 2 r$

Forklar at vi kan skrive arealet $T$ av trekanten på to måter:

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b og T = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

Bruk resultatene du fant i oppgavene b) og c) til å utlede Pytagoras’ setning.

Fasit

Se løsningsforslag.

$a + b - c = 2 r$

Se løsningsforslag.

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

LøsningsforslagKI-generert

Siden $∠ C = 90 °$ , tangerer sirkelen de to katetene $A C$ og $B C$ vinkelrett i henholdsvis $D$ og $F$ . Da er $C D S F$ et rektangel med to sider lik $r$ (avstanden fra $S$ til hver av tangeringspunktene), og siden $∠ C = 90 °$ er $C D S F$ faktisk et kvadrat. Dermed er

C F = C D = r

Fra figuren ser vi at $B C = B F + F C$ og $A C = A D + D C$ , altså

a = B F + r og b = A D + r

Vi vet at $c = A E + B E$ . Siden $A D = A E$ og $B F = B E$ (tangentlengder fra samme punkt til sirkelen er like lange), kan vi skrive

c = A D + B F

Fra a) har vi $B F = a - r$ og $A D = b - r$ . Setter vi dette inn, får vi

c = (b - r) + (a - r) = a + b - 2 r

Løser vi for $a + b - c$ :

a + b - c = 2 r

Trekanten $A B C$ er rettvinklet med kateter $a$ og $b$ , så arealet er

T = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b

Vi kan også dele trekanten $A B C$ i tre mindre trekanter $A S B$ , $B S C$ og $C S A$ ved å trekke linjer fra sentrum $S$ til hvert hjørne. Høyden fra $S$ ned på hver av sidene $c$ , $a$ og $b$ er nettopp radien $r$ , siden sirkelen tangerer alle tre sidene. Da er

T = \frac{1}{2} \cdot r \cdot c + \frac{1}{2} \cdot r \cdot a + \frac{1}{2} \cdot r \cdot b = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

Fra b) har vi $r = \frac{a + b - c}{2}$ . Vi setter de to uttrykkene for arealet fra c) lik hverandre:

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (a + b + c)

a b = r \cdot (a + b + c)

Setter vi inn $r = \frac{a + b - c}{2}$ :

a b = \frac{a + b - c}{2} \cdot (a + b + c) = \frac{{(a + b)}^{2} - c^{2}}{2}

2 a b = {(a + b)}^{2} - c^{2}

2 a b = a^{2} + 2 a b + b^{2} - c^{2}

Vi trekker fra $2 a b$ på begge sider:

0 = a^{2} + b^{2} - c^{2}

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Svar:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Dette er nettopp Pytagoras’ setning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2017, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 7
Temaer: Geometri, Sirkel, Bevis, Areal og omkrets

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Innskrevet sirkel i rettvinklet trekant og utledning av Pytagoras

Lov på eksamen

Temaer