Influensaepidemi og logistisk vekst

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever $S (t)$ etter $t$ dager er tilnærmet gitt ved

S (t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{- 0,3 t}} .

Kalkulator

Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?

Kalkulator

På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?

For hånd

Undersøk om $S$ har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.

Fasit

$t \approx 8,80 d a g e r$

$t \approx 11,11 d a g e r$ , maks smittehastighet $S^{'} (t) = 22,5 e l e v e r / d a g$

Horisontal asymptote $y = 0$ og $y = 300$ . Praktisk tolkning: maksimalt 300 elever (30 % av skolen) smittes ifølge modellen.

LøsningsforslagKI-generert

Logistisk vekstkurve for influensaepidemi

Vi skal finne $t$ slik at $S (t) = 100$ .

Vi setter opp likningen og løser i GeoGebra CAS (se linje 2):

\frac{300}{1 + 28 \cdot e^{- 0,3 t}} = 100

GeoGebra CAS

Vi kan også løse algebraisk:

\begin{matrix} 1 + 28 e^{- 0,3 t} & = 3 \\ 28 e^{- 0,3 t} & = 2 \\ e^{- 0,3 t} & = \frac{1}{14} \\ - 0,3 t & = \ln (\frac{1}{14}) = - \ln 14 \\ t & = \frac{\ln 14}{0,3} \approx 8,80 \end{matrix}

Det tar omtrent $8,80 d a g e r$ før 100 elever er smittet.

For en logistisk funksjon $S (t) = \frac{K}{1 + A \cdot e^{- r t}}$ er vekstraten størst når $S = \frac{K}{2}$ .

Her er $K = 300$ , så maks veksthastighet inntreffer når $S = 150$ .

Vi setter $S (t) = 150$ :

\begin{matrix} 1 + 28 e^{- 0,3 t} & = 2 \\ e^{- 0,3 t} & = \frac{1}{28} \\ t & = \frac{\ln 28}{0,3} \approx 11,11 \end{matrix}

Maks veksthastighet kan beregnes med formelen $S_{\max}^{'} = \frac{r \cdot K}{4}$ (se linje 4 i CAS):

S_{\max}^{'} = \frac{0,3 \cdot 300}{4} = \frac{90}{4} = 22,5

Flest elever smittes rundt dag $11,11$ , og smittehastigheten er da $22,5 e l e v e r / d a g$ .

En horisontal asymptote er en verdi som $S (t)$ nærmer seg, men aldri når, når $t \to \pm \infty$ .

Når $t \to + \infty$ : $e^{- 0,3 t} \to 0$ , slik at

S (t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{- 0,3 t}} \to \frac{300}{1 + 0} = 300

Horisontal asymptote: $y = 300$ (se grønn linje i figuren).

Når $t \to - \infty$ : $e^{- 0,3 t} \to + \infty$ , slik at

S (t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{- 0,3 t}} \to \frac{300}{\infty} = 0

Horisontal asymptote: $y = 0$ .

Praktisk tolkning:

Asymptoten $y = 0$ beskriver situasjonen før epidemien begynte — ingen er smittet i starten (når $t \to - \infty$ i matematisk forstand).
Asymptoten $y = 300$ betyr at maks 300 av skolens 1000 elever smittes ifølge modellen. Det tilsvarer 30 % av elevene. Smitten stopper altså av seg selv før hele skolen er rammet.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Riktig strategi, men feil svar, kan gi 1 poeng.

1 poeng for tidspunkt og 1 poeng for hvor raskt smitten sprer seg.

1 poeng for å finne asymptotene og 1 poeng for praktisk tolkning.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2024, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Logistisk funksjon, Derivasjon, Asymptoter, Modellering
Kompetansemål: Modellere og analysere eksponentiell og logistisk vekst i reelle datasett
Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon

Influensaepidemi og logistisk vekst

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Influensaepidemi og logistisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Influensaepidemi og logistisk vekst

Influensaepidemi og logistisk vekst

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer