Induksjonsbevis for sum av n ganger n pluss tre

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bevis påstanden ved induksjon

P (n) : 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + n \cdot (n + 3) = \frac{n (n + 1) (n + 5)}{3}, n \in ℕ

Fasit

Påstanden er $bevist ved induksjon$ for alle $n \in ℕ$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi skal bevise ved induksjon at

P (n) : 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + n (n + 3) = \frac{n (n + 1) (n + 5)}{3}

for alle $n \in ℕ$ .

Basissteg

For $n = 1$ er venstre side $1 \cdot 4 = 4$ , og høyre side er

\frac{1 \cdot 2 \cdot 6}{3} = \frac{12}{3} = 4

Venstre og høyre side er like, så $P (1)$ er sann.

Induksjonssteg

Anta at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså

1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + \dots + k (k + 3) = \frac{k (k + 1) (k + 5)}{3}

Vi skal vise at $P (k + 1)$ da også er sann, altså at

1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + \dots + k (k + 3) + (k + 1) (k + 4) = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 6)}{3}

Vi tar utgangspunkt i venstre side av $P (k + 1)$ og bruker induksjonsantagelsen:

\underset{= \frac{k (k + 1) (k + 5)}{3}}{\underset{⏟}{1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + \dots + k (k + 3)}} + (k + 1) (k + 4)

= \frac{k (k + 1) (k + 5)}{3} + (k + 1) (k + 4)

Vi faktoriserer ut $(k + 1)$ og setter på felles brøkstrek:

= (k + 1) \cdot \frac{k (k + 5) + 3 (k + 4)}{3} = (k + 1) \cdot \frac{k^{2} + 5 k + 3 k + 12}{3} = (k + 1) \cdot \frac{k^{2} + 8 k + 12}{3}

Vi faktoriserer andregradsuttrykket $k^{2} + 8 k + 12 = (k + 2) (k + 6)$ :

= \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 6)}{3}

Dette er nettopp høyre side av $P (k + 1)$ , så $P (k + 1)$ er sann når $P (k)$ er sann.

Konklusjon

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ved induksjonsprinsippet. $■$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2012, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Innstillinger