Induksjonsbevis for sum av brøker

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Bruk induksjon til å bevise påstanden

P (n) : \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{n}{n + 1}, n \in ℕ

Fasit

$P (n) er bevist for alle n \in ℕ ved induksjon$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Basissteget.

Vi sjekker at $P (1)$ stemmer.

VS = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} HS = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Siden $VS = HS$ , er $P (1)$ sann.

Steg 2: Induksjonssteget.

Vi antar at $P (k)$ er sann for et vilkårlig $k \in ℕ$ , altså at

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{k \cdot (k + 1)} = \frac{k}{k + 1}

Vi skal vise at da er også $P (k + 1)$ sann, altså at

\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{k \cdot (k + 1)} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

Vi tar utgangspunkt i venstresiden og bruker induksjonsantakelsen på de $k$ første leddene.

\underset{= \frac{k}{k + 1}}{\underset{⏟}{\frac{1}{1 \cdot 2} + \dots + \frac{1}{k \cdot (k + 1)}}} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k}{k + 1} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)}

Vi setter på felles brøkstrek $(k + 1) (k + 2)$ .

= \frac{k (k + 2)}{(k + 1) (k + 2)} + \frac{1}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k^{2} + 2 k + 1}{(k + 1) (k + 2)}

Telleren er et kvadratsetning-uttrykk, $k^{2} + 2 k + 1 = {(k + 1)}^{2}$ .

= \frac{{(k + 1)}^{2}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{k + 1}{k + 2}

Dette er nettopp høyresiden i $P (k + 1)$ , så $P (k + 1)$ er sann når $P (k)$ er sann.

Konklusjon.

Siden $P (1)$ er sann, og $P (k) \Rightarrow P (k + 1)$ for alle $k \in ℕ$ , er $P (n)$ sann for alle $n \in ℕ$ ifølge induksjonsprinsippet. $■$

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2013, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Bevis, Rekker

Innstillinger