Induksjonsbevis for rekursiv følge

En følge er gitt ved $a_{1} = 2$ og $a_{n} = a_{n - 1} + n$ .

Bruk induksjon til å vise at $a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2}$ for alle $n \in ℕ$ .

Fasit

$a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} for alle n \in ℕ$

LøsningsforslagKI-generert

Steg 1: Basissteget

Vi sjekker at påstanden stemmer for $n = 1$ :

\frac{1^{2} + 1 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 = a_{1}

Påstanden stemmer for $n = 1$ .

Steg 2: Induksjonssteget

Vi antar at påstanden stemmer for et vilkårlig naturlig tall $n = k$ , altså at

a_{k} = \frac{k^{2} + k + 2}{2}

Vi må vise at da stemmer påstanden også for $n = k + 1$ , altså at

a_{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 2}{2}

Fra den rekursive definisjonen har vi $a_{k + 1} = a_{k} + (k + 1)$ . Vi setter inn induksjonsantakelsen:

a_{k + 1} = \frac{k^{2} + k + 2}{2} + (k + 1) = \frac{k^{2} + k + 2 + 2 (k + 1)}{2} = \frac{k^{2} + 3 k + 4}{2}

Vi sammenlikner med det vi ønsket å vise. Vi utvider høyresida:

\frac{{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 2}{2} = \frac{k^{2} + 2 k + 1 + k + 1 + 2}{2} = \frac{k^{2} + 3 k + 4}{2}

De to uttrykkene er like, så påstanden stemmer for $n = k + 1$ når den stemmer for $n = k$ .

Konklusjon

Siden påstanden stemmer for $n = 1$ , og den stemmer for $n = k + 1$ når den stemmer for $n = k$ , følger det av induksjonsprinsippet at

a_{n} = \frac{n^{2} + n + 2}{2} for alle n \in ℕ

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2020, del 1, oppgave 9
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Induksjon, Tallfølger

Innstillinger