Induksjonsbevis for geometrisk rekke

Vis ved induksjon at

1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n} = \frac{4^{n + 1} - 1}{3} for n \geq 0

Fasit

Se løsningsforslag for fullstendig bevis.

Løsningsforslag

Vi beviser ved induksjon at

1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n} = \frac{4^{n + 1} - 1}{3} for n \geq 0

Basissteg ( $n = 0$ ):

VS $= 1$ , HS $= \frac{4^{1} - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ . VS $=$ HS $✓$

Induksjonssteg:

Anta at påstanden holder for $n = k$ , dvs.

1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{k} = \frac{4^{k + 1} - 1}{3}

Vi viser at den da også holder for $n = k + 1$ :

\begin{matrix} 1 + 4 + \dots + 4^{k} + 4^{k + 1} & = \frac{4^{k + 1} - 1}{3} + 4^{k + 1} \\ = \frac{4^{k + 1} - 1 + 3 \cdot 4^{k + 1}}{3} \\ = \frac{4 \cdot 4^{k + 1} - 1}{3} \\ = \frac{4^{k + 2} - 1}{3} \end{matrix}

Dette er nettopp formelen for $n = k + 1$ . Påstanden er bevist ved induksjon. $■$

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

1 poeng for rett oppsett av induksjonsbevis, 1 poeng for utregningen, 1 poeng for god kommunikasjon.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2025, del 1, oppgave 8
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Bevis, Rekker, Geometrisk rekke
Kompetansemål: Analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis
Utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

Innstillinger