Herons formel og likebeint trekant i CAS

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Heron fra Alexandria levde i det første århundret av vår tidsregning. Han har fått en formel oppkalt etter seg.

|250

Vi kan bruke Herons formel til å regne ut arealet $T$ av en trekant med sider $a$ , $b$ og $c$ . Arealet er

T = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)} der s = \frac{a + b + c}{2}

Du får vite dette om en trekant:

Omkretsen av trekanten er 18.
Arealet av trekanten er 12.
To av sidene i trekanten er like lange.

Bruk CAS til å vise at det finnes to ulike trekanter som tilfredsstiller kravene ovenfor. Bestem lengden av sidene i trekantene eksakt.

Fasit

Trekant 1: sidene $5$ , $5$ og $8$ . Trekant 2: sidene $\frac{35 - \sqrt{33}}{4}$ , $\frac{35 - \sqrt{33}}{4}$ og $\frac{1 + \sqrt{33}}{2}$ .

LøsningsforslagKI-generert

Vi kaller de to like lange sidene $x$ og den tredje siden (grunnlinjen) $y$ .

Omkretsen er 18, så

2 x + y = 18 \Rightarrow y = 18 - 2 x

Halve omkretsen i Herons formel blir da

s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{18}{2} = 9

Med $a = b = x$ og $c = y$ gir Herons formel arealet

T = \sqrt{s (s - x) (s - x) (s - y)} = \sqrt{9 {(9 - x)}^{2} (9 - y)}

Setter inn $T = 12$ og $9 - y = 9 - (18 - 2 x) = 2 x - 9$ :

144 = 9 {(9 - x)}^{2} (2 x - 9)

{(9 - x)}^{2} (2 x - 9) = 16

Vi løser likningen i CAS i GeoGebra.

Løsning av likningen i CAS

CAS gir tre løsninger:

x = 5 x = \frac{35 - \sqrt{33}}{4} \approx 7,31 x = \frac{35 + \sqrt{33}}{4} \approx 10,19

Sidene $x$ og $y$ må begge være positive, og trekantulikheten krever $y < 2 x$ , altså $18 - 2 x < 2 x$ , som gir $x > 4,5$ . I tillegg må $y = 18 - 2 x > 0$ , altså $x < 9$ . Den tredje løsningen, $x \approx 10,19$ , ligger utenfor dette området (gir negativ $y$ ) og forkastes. De to gjenværende løsningene ligger begge i intervallet $⟨ 4,5, 9 ⟩$ og gir hver sin gyldige trekant.

Trekant 1: $x = 5$ gir

y = 18 - 2 \cdot 5 = 8

Sidene er $5, 5 og 8$ . Trekantulikheten er oppfylt siden $5 + 5 > 8$ .

Trekant 2: $x = \frac{35 - \sqrt{33}}{4}$ gir

y = 18 - 2 \cdot \frac{35 - \sqrt{33}}{4} = \frac{36 - 35 + \sqrt{33}}{2} = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}

Sidene er

\frac{35 - \sqrt{33}}{4} \approx 7,31, \frac{35 - \sqrt{33}}{4} \approx 7,31, og \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \approx 3,37

Det finnes altså to ulike likebeinte trekanter som har omkrets 18 og areal 12.

Oppgavedata

Hentet fra: 1T H2018, del 2, oppgave 5
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 3
Temaer: Geometri, CAS, Likningssystem

Herons formel og likebeint trekant i CAS

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Herons formel og likebeint trekant i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Herons formel og likebeint trekant i CAS

Herons formel og likebeint trekant i CAS

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer