Vi setter de to funksjonsuttrykkene lik hverandre for å finne skjæringspunktet:

Vi ganger begge sider med $x$ (siden $x\ne 0$):

(vi velger den positive roten, siden koordinatene skal være positive). Den tilhørende $y$-verdien finner vi ved å sette $x$ inn i $f(x)=ax$:

Utforsking, $a=1$: Da er $x=\sqrt{b}$. For at $x$ skal bli et positivt heltall, må $b$ være et kvadrattall: $b=1,4,9,16,\dots$. Det gir skjæringspunktene

Utforsking, $a=2$: Da er $x=\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{2}}}$, så ${\displaystyle \frac{b}{2}}$ må være et kvadrattall, altså $b=2,8,18,32,\dots$ (dvs. $b=2k^2$). Det gir

Utforsking, $a=3$: Tilsvarende må $b=3,12,27,48,\dots$ (dvs. $b=3k^2$), som gir

Her ser vi igjen skjæringspunktet $(\mathrm{3,9})$ fra oppgaveteksten, med $a=3$ og $b=27$.

Generelt mønster. Vi ser at $x$ blir et positivt heltall $x=k$ nettopp når

Da blir

som alltid er et positivt heltall når $a$ og $k$ er positive heltall (produkt av to heltall).

Konklusjon: For et valgt $a\in \mathbb{N}$ får vi et skjæringspunkt med positive heltallige koordinater nøyaktig når $b=a\cdot k^2$ for et positivt heltall $k$. Skjæringspunktet blir da $(k,ak)$.

Eksemplene i oppgaven stemmer med dette: $a=1,b=1,k=1$ gir $(\mathrm{1,1})$, og $a=3,b=27,k=3$ gir $(\mathrm{3,9})$.