Halvsirkel vektorer og rett vinkel

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En sirkel med radius $r$ og sentrum i origo er gitt ved

x^{2} + y^{2} = r^{2}

Punktet $P (x, y)$ er et vilkårlig punkt på den øvre halvsirkelen. Se skissen nedenfor.

Halvsirkel med punkt P på buen og linjer til A og B

For hånd

Bestem koordinatene til punktene $A$ og $B$ uttrykt ved $r$ . Bestem vektorkoordinatene til $\vec{P A}$ og $\vec{P B}$ .

For hånd

Vis ved vektorregning at $∠ A P B = 90 °$ .

Fasit

$A (- r, 0)$ , $B (r, 0)$ , $\vec{P A} = (- r - x, - y)$ , $\vec{P B} = (r - x, - y)$

$\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0 \Rightarrow ∠ A P B = 90 °$

LøsningsforslagKI-generert

Punktene $A$ og $B$ er endepunktene til diameteren langs $x$ -aksen, altså

A (- r, 0) B (r, 0)

Vektoren $\vec{P A}$ finner vi ved å trekke koordinatene til $P$ fra koordinatene til $A$ (spiss minus hale):

\vec{P A} = A - P = (- r - x, 0 - y) = (- r - x, - y)

Tilsvarende for $\vec{P B}$ :

\vec{P B} = B - P = (r - x, 0 - y) = (r - x, - y)

For å vise at $∠ A P B = 90 °$ , viser vi at $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ . Vi regner ut prikkproduktet komponentvis:

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = (- r - x) (r - x) + (- y) (- y)

CAS-utregningen bekrefter forenklingen:

Prikkprodukt forenklet med CAS

Vi ser at

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = - r^{2} + x^{2} + y^{2} = x^{2} + y^{2} - r^{2}

Siden $P (x, y)$ ligger på sirkelen, vet vi at $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ . Setter vi dette inn, får vi

\vec{P A} \cdot \vec{P B} = r^{2} - r^{2} = 0

Når prikkproduktet mellom to vektorer er lik null, står vektorene normalt på hverandre. Dermed er

∠ A P B = 90 °

for ethvert punkt $P$ på den øvre halvsirkelen. Dette er nettopp Thales’ setning: periferivinkelen til en diameter er alltid rett.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 H2013, del 2, oppgave 4
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 4
Temaer: Vektorer, Skalarprodukt, Sirkel, Bevis

Innstillinger