Grafer og dobbeltderivert

Nedenfor ser du åtte grafer.

En av grafene er grafen til en funksjon på formen $a^x$ , der $a$ er et positivt helt tall.
Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $x^b - c$ , der $b$ og $c$ er positive hele tall.
Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

Åtte grafer

Sorter grafene i par.

De to grafene i hvert par skal være grafen til en funksjon og grafen til den dobbeltderiverte av funksjonen.
Det må komme tydelig fram hvilken graf som er grafen til funksjonen, og hvilken som er grafen til den dobbeltderiverte.

Husk å begrunne svarene.

Hvilke av de åtte grafene ovenfor er grafer til funksjoner som har en omvendt funksjon?

Fasit

Par: A–G, B–C, D–F, E–H

A, B, C og G har invers funksjon

Løsningsforslag

Vi analyserer de åtte grafene ut fra egenskapene til de fire funksjonstypene og deres andredeiverte:

Funksjon	Andredeiverte
$a^x$	$(\ln a)^2 \cdot a^x$ – samme form, alltid positiv
$x^2 - c$	$2$ – en konstant, horisontal linje
$x^3 - c$	$6x$ – lineær gjennom origo
$x^4 - c$	$12x^2$ – parabel åpnende oppover gjennom origo

Parene er:

A og G: A er eksponentielt voksende (grafen til $a^x$ , alltid positiv, konveks). G har samme form – dette er grafen til den andredeiverte $(\ln a)^2 a^x$ , som er proporsjonal med $a^x$ .
E og H: E er en parabel med bunnpunkt under $x$ -aksen, som passer med $x^2 - c$ for $c > 0$ . H er en horisontal linje, noe som stemmer med den konstanteandredeiverte $f''(x) = 2$ .
B og C: B er en S-formet kurve (stigende gjennom hele definisjonsmengden), som passer med $x^3 - c$ . C viser en rett stigende linje for $x > 0$ , noe som stemmer med den lineære andredeiverte $f''(x) = 6x$ .
D og F: D er en U-formet kurve, flatere enn en parabel nær origo, som passer med $x^4 - c$ . F er en parabel åpnende oppover med toppunkt i origo, noe som stemmer med $f''(x) = 12x^2$ .

Sammenstilling:

Par	Funksjon	Andredeiverte
1	A ( $a^x$ )	G
2	E ( $x^2 - c$ )	H
3	B ( $x^3 - c$ )	C
4	D ( $x^4 - c$ )	F

En funksjon har en invers funksjon dersom og bare dersom den er injektiv (en-til-en), dvs. strengt stigende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden.

A ( $a^x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
B ( $x^3 - c$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
C ( $6x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
G ( $(\ln a)^2 a^x$ ): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
D ( $x^4 - c$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
E ( $x^2 - c$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
F ( $12x^2$ ): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
H (konstant): ikke en-til-en → har ikke invers

$\underline{\underline{\text{Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner med invers funksjon.}}}$

Sensorveiledning

1 poeng for hvert riktig par med begrunnelse. Oppgaven vurderes som en helhet, full uttelling krever gode begrunnelser for alle fire parene.

Tre riktige svar med begrunnelse kan gi 1 poeng.

Oppgavedata

Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 6
Temaer: derivasjon, funksjonsdrøfting, eksponentialfunksjoner, omvendt funksjon, dobbeltderivert
Kompetansemål: Analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon
Utforske, analysere og derivere ulike funksjoner og deres omvendte funksjoner, og gjøre rede for egenskaper til og sammenhenger mellom slike funksjoner