Gjennomsnitt med algoritme og program

Oppsett for hånd

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

I denne oppgaven skal du bruke algoritmen nedenfor til å finne en tilnærmet verdi for gjennomsnittet til en funksjon $f$ i et intervall $[a, b]$ .

Velg $N + 1$ tall jevnt fordelt i intervallet $[a, b]$ .

La $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{N} = b$ være disse tallene.

Avstanden mellom et av tallene og det neste er da $\frac{b - a}{N}$ .

Regn ut gjennomsnittet $g$ av tallene $f (x_{0}), f (x_{1}), \dots, f (x_{N})$ .

Da er $g$ en god tilnærmet verdi for gjennomsnittet til $f$ i $[a, b]$ .

Denne tilnærmingen blir bedre dess større $N$ er.

Lag et program som du kan bruke til å bestemme gjennomsnittet til funksjonen $f$ gitt ved

f (x) = \sqrt{x}

i intervallet $[0, 1]$ . Hva blir dette gjennomsnittet?

Fasit

Gjennomsnittet til $f (x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ er $\frac{𝟐}{𝟑} \approx 𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟕$ .

LøsningsforslagKI-generert

Algoritmen beregner gjennomsnittet av $N + 1$ funksjonsverdier jevnt fordelt i intervallet. Vi velger punktene

x_{i} = a + i \cdot \frac{b - a}{N}, i = 0, 1, \dots, N

og regner ut gjennomsnittet

g = \frac{f (x_{0}) + f (x_{1}) + \dots + f (x_{N})}{N + 1}

Her er et program som implementerer algoritmen for $f (x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

from math import sqrt

def f(x):
    return sqrt(x)

a = 0
b = 1
N = 1000

sum_verdier = 0
for i in range(N + 1):
    x_i = a + i * (b - a) / N
    sum_verdier += f(x_i)

g = sum_verdier / (N + 1)
print(g)

Med $N = 1000$ gir programmet en verdi svært nær $0,6667$ .

Kontroll med integral:

Det eksakte gjennomsnittet til $f$ på $[a, b]$ er gitt ved

g = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x

For $f (x) = \sqrt{x}$ på $[0, 1]$ :

g = \frac{1}{1 - 0} \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x = {[\frac{2}{3} x^{3 / 2}]}_{0}^{1} = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}

Programmet gir altså en god tilnærming til det eksakte svaret $𝐠 = \frac{𝟐}{𝟑} \approx 𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟕$ .

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 4 poeng

Det gis 1 poeng dersom kandidaten viser forståelse for algoritmen. Det gis 2 poeng dersom kandidaten lager et program med små feil eller mangler. Det gis 3 poeng for et oversiktlig program som kan brukes til å bestemme gjennomsnittet. Kandidaten får i tillegg 1 poeng for å finne en god tilnærmingsverdi for gjennomsnittet.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2023, del 2, oppgave 7
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 4
Temaer: Programmering, Integrasjon
Kompetansemål: Forstå begrepene vekstfart, grenseverdi, derivasjon og kontinuitet, og bruke disse for å løse praktiske problemer

Gjennomsnitt med algoritme og program

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Gjennomsnitt med algoritme og program

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Gjennomsnitt med algoritme og program

Gjennomsnitt med algoritme og program

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer