Geometrisk rekke med parameter og konvergensområde

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved

S (x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} + \dots, x \neq 0

Bestem konvergensområdet til rekken.

Bestem $x$ slik at $S (x) = 4$

Fasit

$x < - 1 \lor x > 1$

$x = 2$

LøsningsforslagKI-generert

S (x) = 2 + \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} + \dots

Dette er en geometrisk rekke med $a_{1} = 2$ og kvotient $k = \frac{1}{x}$ . En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $| k | < 1$ :

| \frac{1}{x} | < 1 \Leftrightarrow | x | > 1

Dermed konvergerer rekken for

x < - 1 \lor x > 1

For en konvergent uendelig geometrisk rekke er summen $s = \frac{a_{1}}{1 - k}$ . Her blir dette

S (x) = \frac{2}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 x}{x - 1}

Vi setter $S (x) = 4$ og løser for $x$ :

\frac{2 x}{x - 1} = 4

2 x = 4 (x - 1)

2 x = 4 x - 4

- 2 x = - 4

x = 2

Vi sjekker at løsningen ligger i konvergensområdet: $x = 2$ oppfyller $x > 1$ , så løsningen er gyldig:

x = 2

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 3 poeng

Kandidaten må kommentere at løsningen ligger i konvergensområdet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2015, del 1, oppgave 4
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 3
Temaer: Geometrisk rekke, Konvergens, Uendelig rekke

Innstillinger