Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt på formen

f (x) = x^{2} + p x + q

Vi kan finne eventuelle nullpunkt til $f$ ved hjelp av en geometrisk konstruksjon. Framgangsmåten er gitt i boksen nedenfor.

Bruk framgangsmåten til å konstruere sirkelen når $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ . Hva er nullpunktene til $f$ , ifølge konstruksjonen?

Vi vil nå se på det generelle tilfellet $f (x) = x^{2} + p x + q$ .

Vis at sentrum $S$ og radien $r$ til sirkelen er gitt ved

S (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2}) og r = \sqrt{\frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}}

Bestem likningen for sirkelen uttrykt ved $p$ og $q$ . Vis at sirkelen skjærer $x$ -aksen i nullpunktene til funksjonen $f$ .

Fasit

$x = - 2 og x = 4$

Vist i løsningsforslaget.

${(x + \frac{p}{2})}^{2} + {(y - \frac{q + 1}{2})}^{2} = \frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}$ , gir $x = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}$

LøsningsforslagKI-generert

For $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ er $p = - 2$ og $q = - 8$ . Punktene i konstruksjonen blir

A (0,1) B (- p, q) = B (2, - 8)

Sirkelen har $A B$ som diameter, med sentrum i midtpunktet av $A B$ :

S = (\frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + (- 8)}{2}) = (1, - 3,5)

og radius

r = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{{(2 - 0)}^{2} + {(- 8 - 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 81} = \frac{\sqrt{85}}{2} \approx 4,61

Konstruksjonen er vist i figuren under. Sirkelen skjærer $x$ -aksen i $(- 2,0)$ og $(4,0)$ , så nullpunktene til $f$ er

x = - 2 og x = 4

Dette stemmer med at $f (x) = x^{2} - 2 x - 8 = (x - 4) (x + 2)$ .

Sirkelkonstruksjon for nullpunktene til f

For $f (x) = x^{2} + p x + q$ er $A (0,1)$ og $B (- p, q)$ . Sentrum $S$ i sirkelen med $A B$ som diameter er midtpunktet av $A B$ :

S = (\frac{0 + (- p)}{2}, \frac{1 + q}{2}) = (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2})

Radius er halve lengden av $A B$ :

r = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{{(- p - 0)}^{2} + {(q - 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{p^{2} + {(q - 1)}^{2}} = \sqrt{\frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}}

som er det vi skulle vise.

Sirkelen med sentrum $S (- \frac{p}{2}, \frac{q + 1}{2})$ og radius $r = \sqrt{\frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}}$ har likning

{(x + \frac{p}{2})}^{2} + {(y - \frac{q + 1}{2})}^{2} = \frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}

Skjæring med $x$ -aksen betyr $y = 0$ :

{(x + \frac{p}{2})}^{2} + {(\frac{q + 1}{2})}^{2} = \frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4}

{(x + \frac{p}{2})}^{2} = \frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(q + 1)}^{2}}{4} = \frac{p^{2} + {(q - 1)}^{2} - {(q + 1)}^{2}}{4}

Siden ${(q - 1)}^{2} - {(q + 1)}^{2} = - 4 q$ , blir telleren $p^{2} - 4 q$ , så

{(x + \frac{p}{2})}^{2} = \frac{p^{2} - 4 q}{4}

x + \frac{p}{2} = \pm \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2} \Rightarrow x = \frac{- p \pm \sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}

Dette er nettopp abc-formelen for nullpunktene til $f (x) = x^{2} + p x + q$ (med $a = 1$ , $b = p$ , $c = q$ ). Dermed skjærer sirkelen $x$ -aksen i nullpunktene til $f$ , slik konstruksjonen forutsetter.

Oppgavedata

Hentet fra: R1 V2016, del 1, oppgave 7
Del: Del 1, uten hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Skrivesaker og linjal
Ingen kalkulator eller digitale verktøy.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 5
Temaer: Sirkel, Nullpunkter, Bevis, Geometri

Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Lov på eksamen

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Geometrisk konstruksjon av nullpunkter til andregradsfunksjon

Lov på eksamen

Temaer