Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x), x \in [0, \to ⟩

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafen til $f$ for $x \in [0, 3 π]$ .

Kalkulator

Bestem nullpunktene til $f$ i intervallet $[0, 3 π]$ .

Kalkulator

Bestem topp- og bunnpunktene på grafen til $f$ i intervallet $⟨ 0, 3 π ⟩$ .

Kalkulator

Bestem arealet begrenset av grafen til $f$ og $x$ -aksen mellom $x = 0$ og $x = \frac{π}{2}$ .

Fasit

Se graf i løsningsforslaget.

$x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π, \frac{5 π}{2}, 3 π$

Se tabell i løsningsforslaget.

$A = \frac{90 (1 + e^{- π / 6})}{37} \approx 3,87$

LøsningsforslagKI-generert

Grafen til $f (x) = 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x)$ for $x \in [0, 3 π]$ er tegnet med GeoGebra:

Graf til f med nullpunkter og ekstremalpunkter

Vi finner nullpunktene ved å løse $f (x) = 0$ :

5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x) = 0

Siden $e^{- \frac{x}{3}} > 0$ for alle $x$ , må $\sin (2 x) = 0$ . Det gir

2 x = k π \Rightarrow x = \frac{k π}{2}, k = 0, 1, 2, \dots

I intervallet $[0, 3 π]$ blir dette $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ , altså punktene som er markert på grafen i a):

x = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}, 2 π, \frac{5 π}{2}, 3 π

Vi bruker CAS til å derivere $f$ og løse $f^{'} (x) = 0$ :

CAS: derivasjon og likning f'(x)=0

CAS gir

f^{'} (x) = \frac{5 e^{- \frac{x}{3}} (6 \cos (2 x) - \sin (2 x))}{3}

Siden $e^{- \frac{x}{3}} > 0$ , må $6 \cos (2 x) - \sin (2 x) = 0$ , som gir $\tan (2 x) = 6$ . Løsningen av $f^{'} (x) = 0$ blir dermed

x = \frac{1}{2} \tan^{- 1} (6) + k \cdot \frac{π}{2}, k \in ℤ

I det åpne intervallet $⟨ 0, 3 π ⟩$ gir dette seks ekstremalpunkter ( $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ), synlige på grafen i a). De alternerer mellom topp- og bunnpunkt siden $f$ starter i $f (0) = 0$ og øker ( $f^{'} (0) = 10 > 0$ ):

$k$	$x$	$f(x)$	Type
0	$\approx 0{,}70$	$\approx 3{,}90$	Toppunkt
1	$\approx 2{,}27$	$\approx -2{,}31$	Bunnpunkt
2	$\approx 3{,}84$	$\approx 1{,}37$	Toppunkt
3	$\approx 5{,}42$	$\approx -0{,}81$	Bunnpunkt
4	$\approx 6{,}99$	$\approx 0{,}48$	Toppunkt
5	$\approx 8{,}56$	$\approx -0{,}28$	Bunnpunkt

$k$

$x$

$f(x)$

Type

$\approx 0{,}70$

$\approx 3{,}90$

Toppunkt

$\approx 2{,}27$

$\approx -2{,}31$

Bunnpunkt

$\approx 3{,}84$

$\approx 1{,}37$

Toppunkt

$\approx 5{,}42$

$\approx -0{,}81$

Bunnpunkt

$\approx 6{,}99$

$\approx 0{,}48$

Toppunkt

$\approx 8{,}56$

$\approx -0{,}28$

Bunnpunkt

Toppunktene er altså $(0,70, 3,90), (3,84, 1,37), (6,99, 0,48)$ og bunnpunktene er $(2,27, - 2,31), (5,42, - 0,81), (8,56, - 0,28)$ .

På intervallet $[0, \frac{π}{2}]$ er $\sin (2 x) \geq 0$ , så $f (x) \geq 0$ . Arealet mellom grafen og $x$ -aksen er derfor gitt direkte av det bestemte integralet

A = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 5 e^{- \frac{x}{3}} \cdot \sin (2 x) d x

Vi beregner integralet med CAS:

CAS: bestemt integral av f fra 0 til pi/2

CAS gir

A = \frac{90 e^{- \frac{π}{6}} + 90}{37} = \frac{90 (1 + e^{- \frac{π}{6}})}{37} \approx 3,87

A \approx 3,87

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2015, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 2
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Funksjonsdrøfting, Trigonometri, Eksponentialfunksjon, Integrasjon, Nullpunkter, CAS

Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Funksjonsstudie med eksponentiell demping

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer