Grafen til $f(x)=5x^2\cdot e^{-x}$ for $x>0$ er tegnet i GeoGebra, med toppunktet markert:

1. Vise at $f^{\prime }(x)=5(2x-x^2)e^{-x}$

Vi skriver $f(x)=5x^2\cdot e^{-x}$ som et produkt av to funksjoner, $u(x)=5x^2$ og $v(x)=e^{-x}$, og bruker produktregelen $f^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ sammen med kjerneregelen for ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left(e^{-x}\right)=-e^{-x}$:

Vi faktoriserer ut $5e^{-x}$:

2. Fortegnslinje og topp-/bunnpunkt

Siden $e^{-x}>0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av $5x(2-x)$. Nullpunktene til $f^{\prime }$ er $x=0$ og $x=2$. For $x>0$ (vårt definisjonsområde) er faktoren $x$ alltid positiv, så fortegnet avgjøres av $(2-x)$:

Vi ser at $f$ er voksende på $⟨0,2⟩$ og avtagende på $⟨2,\infty ⟩$. Dette gir et toppunkt ved $x=2$:

Siden definisjonsområdet er $x>0$ (ikke $x\ge 0$), er $x=0$ ikke med i definisjonsområdet, og grafen har ikke noe bunnpunkt — den nærmer seg bare $(0,0)$ uten å nå det.

Vi deriverer høyresiden og viser at vi får tilbake $f(x)$. La

Vi deriverer hvert ledd med produktregelen (og ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$):

Vi summerer alle tre ledd:

Leddene $-10x{e}^{-x}$ og $+10x{e}^{-x}$ kansellerer, det samme gjør $-10e^{-x}$ og $+10e^{-x}$, og vi står igjen med

som var det vi skulle vise. $■$

Fra c) vet vi at $F(x)=-5x^2{e}^{-x}-10x{e}^{-x}-10e^{-x}$ er en antiderivert til $f$. Vi bruker analysens fundamentalteorem:

Vi regner ut $F(0)$:

Når $a\to \infty$, går hvert ledd i $F(a)$ mot $0$ fordi vi får oppgitt at ${\displaystyle \underset{a\to \infty }{\lim }(a^n\cdot e^{-a})=0}$ for alle $n\in ℝ$ (her brukt med $n=2$, $n=1$ og $n=0$):

Dermed blir