Vi tegner grafen til $f(x)=5e^{-\mathrm{0,2}x}\cdot (\sin x+\cos x)$ for $x\in ⟨0,15⟩$ i GeoGebra.

Grafen viser en dempet svingning: amplituden avtar mot null ettersom $x$ øker, på grunn av faktoren $e^{-\mathrm{0,2}x}$.

Nullpunktene til $f$ finner vi ved å løse

Siden $e^{-\mathrm{0,2}x}>0$ for alle $x$, må

Dette gir

I intervallet $⟨0,15⟩$ gir dette fem løsninger:

Vi deriverer $f(x)=5e^{-\mathrm{0,2}x}\cdot (\sin x+\cos x)$ med produktregelen. La $u(x)=5e^{-\mathrm{0,2}x}$ og $v(x)=\sin x+\cos x$. Da er $u^{\prime }(x)=-e^{-\mathrm{0,2}x}$ og $v^{\prime }(x)=\cos x-\sin x$.

Vi faktoriserer ut $e^{-\mathrm{0,2}x}$:

Faktoriserer ut $2$:

som var det vi skulle vise.

Siden $e^{-\mathrm{0,2}x}>0$ for alle $x$, bestemmes fortegnet til $f^{\prime }(x)$ av faktoren $2\cos x-3\sin x$. Vi finner nullpunktene til $f^{\prime }$:

I intervallet $⟨0,15⟩$ gir dette

Vi setter opp fortegnslinjen ved å teste fortegnet til $2\cos x-3\sin x$ mellom nullpunktene (f.eks. i $x=0$: $2\cos 0-3\sin 0=2>0$):

Fortegnet til $f^{\prime }$ veksler $+,-,+,-,+,-$ mellom nullpunktene. Dermed er

• $x\approx \mathrm{0,588}$, $x\approx \mathrm{6,871}$ og $x\approx \mathrm{13,154}$ toppunkter (overgang fra $+$ til $-$)
• $x\approx \mathrm{3,730}$ og $x\approx \mathrm{10,013}$ bunnpunkter (overgang fra $-$ til $+$)

Vi beregner funksjonsverdien i de tre toppunktene:

som var det vi skulle vise: $\underline{\underline{f\text{-verdiene i toppunktene er }\mathrm{6,164},\mathrm{1,754}\text{ og }\mathrm{0,499}}}$

Vi skal skrive $f(x)=5e^{-\mathrm{0,2}x}(\sin x+\cos x)$ på formen $A{e}^{-\mathrm{0,2}x}\sin (x+\phi )$. Vi bruker additionsformelen

Sammenligner vi $\sin x+\cos x$ med $A(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi )$, ser vi at vi trenger $A\cos \phi =1$ og $A\sin \phi =1$. Da er $\phi ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ (siden $\tan \phi =1$ og begge er positive), og

slik at $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$. Dermed blir

Fra punkt e) er $f(x)=A{e}^{-\mathrm{0,2}x}\sin (x+\phi )$ med $A=5\sqrt{2}$. Siden $-1\le \sin (x+\phi )\le 1$ for alle $x$, og $A{e}^{-\mathrm{0,2}x}>0$, får vi ved å multiplisere ulikheten med $A{e}^{-\mathrm{0,2}x}$:

Grafen til $f$ ligger altså alltid mellom grafene til $q$ og $p$, og $f$ tangerer $p$ i toppunktene (der $\sin (x+\phi )=1$) og $q$ i bunnpunktene (der $\sin (x+\phi )=-1$). Kurvene $p$ og $q$ kalles innhyllningskurver (eller “konvolutt”) til $f$.

Den grønne kurven er $f$, den blå stiplede kurven er $p(x)=5\sqrt{2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}$, og den røde stiplede kurven er $q(x)=-5\sqrt{2}{e}^{-\mathrm{0,2}x}$. Vi ser at $f$ ligger mellom $p$ og $q$, og berører dem nøyaktig i topp- og bunnpunktene.