Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

f (x) = 2 x + \sin x, D_{f} = [0, 4 π]

g (x) = 2 x + 4 \sin x, D_{g} = [0, 4 π]

Krever PC

Bruk graftegner til å tegne grafene til $f$ og $g$ i samme koordinatsystem.

Kalkulator

Bestem arealet under grafen til $f$ og arealet under grafen til $g$ .

Dersom grafen til $f$ og grafen til $g$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, får vi to omdreiingslegemer.

Kalkulator

Bestem volumet til hvert av de to omdreiingslegemene.

Funksjonen $h$ er gitt ved

h (x) = 2 x + k \cdot \sin x, der 0 < k < 9

La $F$ være flatestykket avgrenset av grafen til $h$ , $x$ -aksen og linjen $x = 4 π$ .

For hånd

Vis ved hjelp av CAS at arealet til $F$ er uavhengig av $k$ .

Dersom $F$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen, får vi et omdreiingslegeme.

Kalkulator

Bruk CAS til å bestemme hvilken verdi for $k$ som gir minst volum til omdreiingslegemet.

Fasit

Se graf.

${Areal}_{f} = {Areal}_{g} = 16 π^{2} \approx 157,9$

$V_{f} \approx 8174 (v.e.), V_{g} \approx 7996 (v.e.)$

Arealet av $F$ er $16 π^{2}$ uavhengig av $k$ — vist med CAS.

$k = 4$

LøsningsforslagKI-generert

Grafene til $f$ og $g$ tegnes med graftegner på intervallet $[0, 4 π]$ .

Grafene til f og g

Arealet under grafen til $f$ på $[0, 4 π]$ er gitt ved det bestemte integralet

\int_{0}^{4 π} (2 x + \sin x) d x = {[x^{2} - \cos x]}_{0}^{4 π} = 16 π^{2} - \cos (4 π) - (0 - \cos 0) = 16 π^{2}

Tilsvarende for $g$ :

\int_{0}^{4 π} (2 x + 4 \sin x) d x = {[x^{2} - 4 \cos x]}_{0}^{4 π} = 16 π^{2}

Begge arealene blir dermed like store:

{Areal}_{f} = {Areal}_{g} = 16 π^{2} \approx 157,9

Dette er ikke tilfeldig — se punkt d), der vi viser at dette gjelder for alle verdier av $k$ i $h (x) = 2 x + k \sin x$ .

Når grafen til en funksjon $h (x)$ dreies $360 °$ om $x$ -aksen på $[a, b]$ , er volumet av omdreiningslegemet

V = π \int_{a}^{b} h {(x)}^{2} d x

Med $h (x) = 2 x + k \cdot \sin x$ blir volumet, som funksjon av $k$ ,

V (k) = π \int_{0}^{4 π} {(2 x + k \sin x)}^{2} d x = π (\frac{256 π^{3}}{3} - 16 π k + 2 π k^{2})

For $f$ er $k = 1$ :

V_{f} = V (1) = π (\frac{256 π^{3}}{3} - 14 π) \approx 8174,1

For $g$ er $k = 4$ :

V_{g} = V (4) = π (\frac{256 π^{3}}{3} - 32 π) \approx 7996,4

Omdreiningslegemet til $g$ har altså mindre volum enn omdreiningslegemet til $f$ , selv om arealene under grafene er like store.

Arealet av $F$ er gitt ved

Areal (F) = \int_{0}^{4 π} (2 x + k \sin x) d x = {[x^{2} - k \cos x]}_{0}^{4 π} = 16 π^{2} - k \cos (4 π) + k = 16 π^{2} - k + k = 16 π^{2}

siden $\cos (4 π) = 1$ . Uttrykket for arealet inneholder ikke $k$ , så arealet er uavhengig av $k$ . Dette bekreftes med CAS:

CAS-utregning av areal og volum

Linje 2 i CAS-utklippet viser at $ArealF = 16 π^{2}$ , uten noe $k$ i uttrykket.

Fra CAS (linje 3–4) er volumet som funksjon av $k$

V (k) = \frac{256}{3} π^{4} + 2 π^{2} k^{2} - 16 π^{2} k

Dette er en andregradsfunksjon (parabel) i $k$ , med positiv koeffisient foran $k^{2}$ , så $V (k)$ har et minimum. Vi deriverer med hensyn på $k$ og setter lik null:

V^{'} (k) = 4 π^{2} k - 16 π^{2} = 0 \Rightarrow k = 4

CAS (linje 5) gir samme resultat: $k = 4$ .

Siden $0 < 4 < 9$ , ligger denne verdien innenfor det tillatte intervallet for $k$ . Dermed gir

k = 4

minst volum til omdreiningslegemet.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 H2019, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Kategori: 3
Vanskegrad: 3
Poeng: 9
Temaer: Integrasjon, Bestemt integral, Omdreiningslegeme, Trigonometri, CAS

Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Funksjoner med sinus og omdreiningslegeme

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer