Fotball hjørnespark og vektorer

Lest inn av KI og ikke kontrollert manuelt enda — kan inneholde feil.

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen $\vec{r}$ til ballen etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r} (t) = [30 t, 5 t, 7 t - 4,9 t^{2}] .

Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, $x$ -aksen går langs kortsiden og $y$ -aksen går langs langsiden.

Kalkulator

Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?

Kalkulator

Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?

Kalkulator

Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?

Fasit

$| \vec{v} (0) | = \sqrt{974} \approx 31,2 m / s$

Ballen lander $\frac{50 \sqrt{37}}{7} \approx 43,4 m$ fra hjørnemerket.

$| \vec{v} | = 5 \sqrt{37} \approx 30,4 m / s$ , høyde $2,5 m$

LøsningsforslagKI-generert

Vi bruker GeoGebra CAS til å definere posisjonsvektoren og beregne alle størrelser.

GeoGebra CAS – hjørnespark-vektorer

Farten er lengden av hastighetsvektoren $\vec{v} (t) = {\vec{r}}^{'} (t)$ .

Vi definerer $\vec{r} (t) = (30 t, 5 t, 7 t - 4,9 t^{2})$ og deriverer (linje 1–2 i CAS).

Ved $t = 0$ (idet ballen sparkes) gir CAS:

\vec{v} (0) = (30, 5, 7)

| \vec{v} (0) | = \sqrt{30^{2} + 5^{2} + 7^{2}} = \sqrt{900 + 25 + 49} = \sqrt{974} \approx 31,2

Farten til ballen idet den blir skutt er $\sqrt{974} \approx 31,2 m / s$ .

Ballen treffer banen igjen når $z$ -koordinaten er 0 (og $t > 0$ ). Vi setter opp likningen

7 t - 4,9 t^{2} = 0

CAS gir $t = 0$ eller $t = \frac{10}{7}$ s (linje 5). Vi bruker $t = \frac{10}{7}$ .

Posisjonen ved landing er (linje 6):

\vec{r} (\frac{10}{7}) = (\frac{300}{7}, \frac{50}{7}, 0)

Avstand fra origo (hjørnemerket) er lengden av $(x, y)$ -komponenten:

d = \sqrt{{(\frac{300}{7})}^{2} + {(\frac{50}{7})}^{2}} = \frac{50 \sqrt{37}}{7} \approx 43,4

CAS bekrefter dette i linje 7.

Ballen er $\frac{50 \sqrt{37}}{7} \approx 43,4 m$ fra hjørnemerket når den treffer banen.

Ballen er på sitt høyeste når $z$ -komponenten av hastighetsvektoren er null:

v_{z} = 7 - 9,8 t = 0 ⟹ t = \frac{5}{7} s

CAS bekrefter $t = \frac{5}{7}$ i linje 8.

Da er hastighetsvektoren (linje 9):

\vec{v} (\frac{5}{7}) = (30, 5, 0)

Farten er (linje 10):

| \vec{v} | = \sqrt{30^{2} + 5^{2}} = \sqrt{925} = 5 \sqrt{37} \approx 30,4 m / s

Høyden ved dette tidspunktet er:

z (\frac{5}{7}) = 7 \cdot \frac{5}{7} - 4,9 \cdot {(\frac{5}{7})}^{2} = 5 - \frac{49}{10} \cdot \frac{25}{49} = 5 - 2,5 = 2,5

Farten på det høyeste punktet er $5 \sqrt{37} \approx 30,4 m / s$ , og ballen er da $2,5 m$ over fotballbanen.

Sensorveiledning

Oppgaven gir til sammen 6 poeng

Kandidater som regner ut fartsvektoren for $t = 0$ , men ikke regner ut absoluttverdien, kan få 1 poeng.

Kandidater som finner riktig posisjonsvektor, kan få 1 poeng.

1 poeng for å finne farten og 1 poeng for å finne det høyeste punktet.

Kandidater som tolker oppgaven til å finne den høyeste farten, kan få full uttelling.

Oppgavedata

Hentet fra: R2 V2024, del 2, oppgave 1
Del: Del 2, alle hjelpemidler — les om hjelpemidler
Hjelpemidler: Kalkulator
CAS
Graftegner og regneark
Lærebok, formelsamling og egne notater
Ikke åpent internett, kommunikasjon med andre eller kunstig intelligens.
Vanskegrad: 2
Poeng: 6
Temaer: Vektorer, Modellering
Kompetansemål: Anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon
Utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

Fotball hjørnespark og vektorer

Innstillinger

Utseende

Oppgaver og visning

Utskrift

Synkronisering

Sync på tvers av enheter

Fotball hjørnespark og vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Forstå oppgaven med en KI

Tastatursnarveier

Navigasjon

I oppgave

Fotball hjørnespark og vektorer

Fotball hjørnespark og vektorer

Lov på eksamen

Kan den løses uten PC?

Temaer